정부호 행렬

정부호 행렬(定符號行列, 영어: definite matrix) 또는 정치 행렬(定置行列)은 에르미트 행렬의 일종으로, 특정한 성질을 가지는 행렬에 대해 양수/음수와 같이 부호를 정의하는 것으로 생각할 수 있다.

에르미트 행렬의 고윳값은 항상 실수다. 에르미트 행렬 ${\displaystyle M}$은 그 고윳값의 부호에 따라서 다음과 같이 분류한다.^[1]

• 모든 고윳값이 음수가 아닌 경우 (즉, 0이 아닌 모든 벡터 ${\displaystyle x}$에 대해 ${\displaystyle x^{*}Mx\geq 0}$인 경우) ${\displaystyle M}$은 양의 준정부호 행렬(陽-準定符號行列, 영어: positive semi-definite matrix)이다.
• 모든 고윳값이 양수인 경우 (즉, 0이 아닌 모든 벡터 ${\displaystyle x}$에 대해 ${\displaystyle x^{*}Mx>0}$인 경우) ${\displaystyle M}$은 양의 정부호 행렬(陽-定符號行列, 영어: positive definite matrix)이다.
• 모든 고윳값이 양수가 아닌 경우 (즉, 0이 아닌 모든 벡터 ${\displaystyle x}$에 대해 ${\displaystyle x^{*}Mx\leq 0}$인 경우) ${\displaystyle M}$은 음의 준정부호 행렬(陰-準定符號行列, 영어: negative semi-definite matrix)이다.
• 모든 고윳값이 음수인 경우 (즉, 0이 아닌 모든 벡터 ${\displaystyle x}$에 대해 ${\displaystyle x^{*}Mx<0}$인 경우) ${\displaystyle M}$은 음의 정부호 행렬(陰-定符號行列, 영어: negative definite matrix)이다.
• 양의 준정부호 또는 음의 준정부호가 아닌 경우 (즉, 양수 및 음수 고윳값을 둘 다 가진 경우) ${\displaystyle M}$은 부정부호 행렬(不定符號行列, 영어: indefinite matrix)이다.

실수체에서 정의하는 경우, 에르미트 행렬 ${\displaystyle M}$ 대신 대칭행렬 ${\displaystyle M}$, 켤레전치 ${\displaystyle x^{*}}$대신 전치 ${\displaystyle x^{T}}$를 사용한다.

일부 문헌에서는 에르미트 행렬이 아닐 수 있는 행렬 ${\displaystyle M}$에 대해서도 정부호 행렬을 정의하며, 이 경우 ${\displaystyle x^{*}Mx}$ 대신 그 실수부 ${\displaystyle \operatorname {Re} (x^{*}Mx)}$를 사용한다. 이 경우 ${\displaystyle M}$의 정부호성은 그 에르미트 성분 ${\displaystyle (M+M^{*})/2}$의 좁은 의미의 정부호성과 동치이다.

행렬 ${\displaystyle M_{0}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$은 양의 정부호 행렬이다. 모든 복소수 벡터 ${\displaystyle x={\begin{bmatrix}x_{0}\\x_{1}\end{bmatrix}}}$에 대해, ${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\bar {x_{0}}}&{\bar {x_{1}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{0}\\x_{1}\end{bmatrix}}={\bar {x_{0}}}x_{0}+{\bar {x_{1}}}{x_{1}}}$이 되고, ${\displaystyle x_{0}}$이나 ${\displaystyle x_{1}}$이 둘 다 0이 아니라면 이 값은 0보다 크다. 실수 범위에서만 생각할 경우 ${\displaystyle {\bar {x_{0}}}x_{0}+{\bar {x_{1}}}{x_{1}}=x_{0}^{2}+x_{1}^{2}}$가 되고, 역시 모든 실수에 대해 동일한 성질이 성립한다.

반면, ${\displaystyle M_{1}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}}$은 부정부호 행렬이다. ${\displaystyle x={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}}$에 대해서 ${\displaystyle x^{*}Mx=-2}$가 되기 때문이다.

${\displaystyle n\times n}$ 복소수 양의 정부호 행렬 ${\displaystyle M}$에 대해, 다음의 성질이 항상 성립한다.

• 고윳값이 모두 양수이다.
• 임의의 두 벡터 ${\displaystyle x,y}$에 대해 ${\displaystyle <x,y>=x^{*}My}$로 내적을 정의하는 것이 가능하다. 반대로, 복소수 벡터 공간 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$에서 정의할 수 있는 내적은 모두 양의 정부호 행렬에 대한 곱으로 표현이 가능하다.
• ${\displaystyle M}$은 그람 행렬이다. 즉, 어떠한 선형 독립인 벡터 ${\displaystyle x_{1},\cdots ,x_{n}}$가 존재하여, ${\displaystyle M_{ij}=x_{i}^{*}x_{j}}$가 성립한다.
• ${\displaystyle M=LL^{*}}$이 성립하는 하삼각행렬 ${\displaystyle L}$이 유일하게 존재한다. 이러한 분해를 촐레스키 분해라고 부른다.

• 대칭행렬의 성질로부터 정부호 행렬의 역행렬도 동일한 정부호 행렬이다.

• 멱등 행렬
• 부호 행렬

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Positive semidefinite matrix”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Positive definite matrix”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Negative semidefinite matrix”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Negative definite matrix”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Indefinite matrix”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.