정칙 특이점

복소 상미분 방정식 이론에서, 정칙 특이점(正則特異點, 영어: regular singularity)은 선형 상미분 방정식의 해가 유리형 함수를 이루는 특이점이다. 정칙 특이점 근처에서는 프로베니우스 방법을 적용하여 미분 방정식의 해를 구할 수 있다.

복소 변수 ${\displaystyle z\in {\hat {\mathbb {C} }}}$를 가지는 미지 함수 ${\displaystyle f}$에 대한 n차 선형 상미분 방정식

${\displaystyle p_{0}(z)f(z)+p_{1}(z)f'(z)+\cdots +p_{n-1}(z)f^{(n-1)}(z)+f^{(n)}(z)=0}$

을 생각하자. 여기서 ${\displaystyle p_{i}}$들은 모두 유리형 함수이다.

만약 ${\displaystyle p_{i}(z)}$가 점 ${\displaystyle z_{0}\in {\hat {\mathbb {C} }}}$에서 차수 ${\displaystyle n-i}$ 이하의 극점만을 갖는다면, ${\displaystyle z_{0}}$를 이 상미분 방정식의 정칙 특이점이라고 하며, 그렇지 않을 경우 비정칙 특이점(영어: irregular singular point)이라고 한다.

복소 무한대 ${\displaystyle {\widehat {\infty }}\in {\hat {\mathbb {C} }}}$를 포함하여, 비정칙 특이점을 갖지 않는 복소 선형 상미분 방정식을 푹스 미분 방정식(영어: Fuchsian differential equation)이라고 한다. 푹스 미분 방정식의 경우 프로베니우스 방법을 적용시킬 수 있다.

베셀 방정식

${\displaystyle (1-\alpha ^{2}/z^{2})+z{\frac {d}{dz}}(z)+{\frac {d^{2}}{dz^{2}}}(z)=0}$

을 생각하고, ${\displaystyle \alpha \neq 0}$이라고 하자. 이 방정식은 ${\displaystyle z=0}$에서 정칙 특이점을 갖는다. 반면,${\displaystyle w=1/z}$로 변환하면

${\displaystyle (1/w^{4}-\alpha ^{2}/w^{2})+w^{-1}{\frac {d}{dw}}f(w)+{\frac {d^{2}}{dw^{2}}}f(w)=0}$

이므로, ${\displaystyle z={\widehat {\infty }}}$에서의 특이점은 비정칙 특이점이다. 따라서 베셀 방정식은 푹스 미분 방정식을 이루지 못한다.

푹스 미분 방정식의 예로는 르장드르 방정식이나 초기하 미분 방정식 등이 있다.

• “Fuchsian equation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Regular singular point”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Irregular singular point”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Analytic theory of differential equations”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Regular singular point”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Irregular Singularity”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• 이철희. “정칙특이점(regular singular points)”. 《수학노트》.