준동형 정리

추상대수학에서 준동형 정리(準同型定理, 영어: homomorphism theorem)는 수학의 여러 분야에서 나타나는 준동형에 관한 기초적인 정리이다. 동형 정리와 밀접한 관련이 있으며, 이를 증명하는 데 이용되기도 한다.

같은 형의 대수 구조 ${\displaystyle A}$와 ${\displaystyle B}$ 및 그 사이의 준동형 ${\displaystyle \phi \colon A\to B}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle A}$ 위에 합동 관계 ${\displaystyle \sim _{\phi }}$를

${\displaystyle a\sim _{\phi }a'\iff \phi (a)=\phi (a')\;\forall a,a'\in A}$

로 정의할 수 있다. ${\displaystyle \sim _{\theta }}$가 ${\displaystyle \sim _{\phi }}$보다 더 고른 ${\displaystyle A}$ 위의 합동 관계라고 하자. 즉,

${\displaystyle a\sim _{\theta }a'\implies a\sim _{\phi }a'}$

라고 하자. 또한, ${\displaystyle \theta \colon A\to A/{\sim }_{\theta }}$가 자연스러운 몫 준동형이라고 하자. 준동형 정리에 따르면, 다음 명제들이 성립한다.

• ${\displaystyle \chi \circ \theta =\phi }$인 준동형 ${\displaystyle \chi \colon A/{\sim }_{\theta }\to B}$가 유일하게 존재한다.
• 만약 ${\displaystyle \phi }$가 전사 함수라면 ${\displaystyle \chi }$ 역시 전사 함수이다.
• 만약 ${\displaystyle {\sim }_{\theta }={\sim }_{\phi }}$라면, ${\displaystyle \chi }$는 단사 함수이다.

이로부터 제1 동형 정리를 따름정리로 얻을 수 있다.

이 정리는 보편 대수학의 정리이므로, 임의의 대수 구조에 대하여 성립한다.

군 준동형 ${\displaystyle \phi \colon G\to H}$ 및 정규 부분군 ${\displaystyle K\vartriangleleft G}$가 있고, ${\displaystyle K\leq \ker \phi }$라고 하자. ${\displaystyle \theta \colon G\to G/K}$가 몫 준동형이라고 하자. 그렇다면 다음 명제들이 성립한다.^[1]

• ${\displaystyle \chi \circ \theta =\phi }$인 군 준동형 ${\displaystyle \chi \colon G/K\to H}$가 유일하게 존재한다.
• 만약 ${\displaystyle \phi }$가 전사 함수라면 ${\displaystyle \chi }$ 역시 전사 함수이다.
• 만약 ${\displaystyle K=\ker \phi }$라면, ${\displaystyle \chi }$는 단사 함수이다.

환 준동형 ${\displaystyle \phi \colon R\to S}$ 및 ${\displaystyle R}$의 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset R}$가 있고, ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset \phi ^{-1}(0)}$이라고 하자. 또한, ${\displaystyle \theta \colon R\to R/{\mathfrak {a}}}$가 몫 준동형이라고 하자. 그렇다면 다음 명제들이 성립한다.

• ${\displaystyle \chi \circ \theta =\phi }$인 환 준동형 ${\displaystyle \chi \colon R/{\mathfrak {a}}\to S}$가 유일하게 존재한다.
• 만약 ${\displaystyle \phi }$가 전사 함수라면 ${\displaystyle \chi }$ 역시 전사 함수이다.
• 만약 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}=\phi ^{-1}(0)}$이라면, ${\displaystyle \chi }$는 단사 함수이다.

환 ${\displaystyle R}$의 왼쪽 가군 ${\displaystyle M,N}$ 사이의 가군 준동형 ${\displaystyle \phi \colon M\to N}$ 및 ${\displaystyle M}$의 부분 가군 ${\displaystyle P\subset M}$가 있고, ${\displaystyle P\subset \phi ^{-1}(0)}$이라고 하자. 또한, ${\displaystyle \theta \colon M\to M/P}$가 몫 준동형이라고 하자. 그렇다면 다음 명제들이 성립한다.

• ${\displaystyle \chi \circ \theta =\phi }$인 가군 준동형 ${\displaystyle \chi \colon M/P\to N}$이 유일하게 존재한다.
• 만약 ${\displaystyle \phi }$가 전사 함수라면 ${\displaystyle \chi }$ 역시 전사 함수이다.
• 만약 ${\displaystyle P=\phi ^{-1}(0)}$이라면, ${\displaystyle \chi }$는 단사 함수이다.

• 플래닛매스, 군론에서의 형태 증명

• 동형 정리
• 대수 구조
• 준동형