준파라콤팩트 공간

일반위상수학에서, 준파라콤팩트 공간(準-空間, 영어: subparacompact space)은 파라콤팩트 공간의 개념의 변형이다.

정의

위상 공간 $X$ 의 집합족 ${\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ 에 대하여, 다음 조건들을 정의할 수 있다.

만약 임의의 $x\in X$ 에 대하여, $|\{S\in {\mathcal {S}}\colon U_{x}\cap S\neq \varnothing \}|\leq 1$ 인 근방 $U_{x}\ni x$ 가 존재한다면, ${\mathcal {S}}$ 를 이산 집합족(離散集合族, 영어: discrete family of sets)이라고 한다.
만약 임의의 $x\in X$ 에 대하여, $\{S\in {\mathcal {S}}\colon U_{x}\cap S\neq \varnothing \}$ 이 유한 집합인 근방 $U_{x}\ni x$ 가 존재한다면, ${\mathcal {S}}$ 를 국소 유한 집합족(局所有限集合族, 영어: locally finite family of sets)이라고 한다.
만약 임의의 ${\mathcal {S}}'\subseteq {\mathcal {S}}$ 에 대하여 $\textstyle \bigcup _{S'\in {\mathcal {S}}'}\operatorname {cl} S'$ 이 닫힌집합이라면, ${\mathcal {S}}$ 를 폐포 보존 집합족(閉包保存集合族, 영어: closure-preserving family of sets)이라고 한다.

모든 이산 집합족은 국소 유한 집합족이다. 모든 국소 유한 집합족은 폐포 보존 집합족이다.

만약 ${\mathcal {S}}$ 가 가산 개의 국소 유한 집합족들의 합집합이라면, ${\mathcal {S}}$ 를 σ-국소 유한 집합족(영어: sigma-locally finite family)이라고 한다. 이 경우, 설령 ${\mathcal {S}}$ 가 덮개이더라도 합집합을 취하는 국소 유한 집합족들이 덮개일 필요는 없다. 마찬가지로, σ-이산 집합족(영어: sigma-discrete family)과 σ-폐포 보존 집합족(영어: sigma-closure-preserving finite family)을 정의할 수 있다.

위상 공간 $X$ 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $X$ 를 준파라콤팩트 공간이라고 한다.

$X$ 의 임의의 열린 덮개는 σ-이산 닫힌 세분을 갖는다.
$X$ 의 임의의 열린 덮개는 σ-국소 유한 닫힌 세분을 갖는다.
$X$ 의 임의의 열린 덮개는 σ-폐포 보존 닫힌 세분을 갖는다.

성질

정칙 공간에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

파라콤팩트 공간이다.
모든 열린 덮개는 σ-이산 열린 세분을 갖는다.
모든 열린 덮개는 σ-국소 유한 열린 세분을 갖는다.^[1]^{:146, Theorem 20.7.(b)}
모든 열린 덮개는 σ-폐포 보존 열린 세분을 갖는다.
모든 열린 덮개는 폐포 보존 열린 세분을 갖는다.
모든 열린 덮개는 국소 유한 세분을 갖는다.^[1]^{:146, Theorem 20.7.(c)} (이 조건에서 세분은 열린 세분일 필요가 없다.)
모든 열린 덮개는 폐포 보존 세분을 갖는다.
모든 열린 덮개는 국소 유한 닫힌 세분을 갖는다.^[1]^{:146, Theorem 20.7.(d)}

정칙 하우스도르프 공간의 경우, 다음 조건이 추가로 동치이다.

모든 열린 덮개는 폐포 보존 닫힌 세분을 갖는다.^[1]^:149

이에 따라, 모든 파라콤팩트 정칙 공간은 준파라콤팩트 공간이다. 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다 (영어: Bing’s example H). 모든 집합족적 정규 준파라콤팩트 공간은 파라콤팩트 공간이다. 그 밖에, 다음 함의 관계들이 성립한다.

가산 콤팩트 준파라콤팩트 공간은 콤팩트 공간이다.
완전 정규 메타콤팩트 공간은 준파라콤팩트 공간이다.

닫힌 연속 함수 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, 만약 $X$ 가 준파라콤팩트 공간이라면 $f(X)$ 역시 준파라콤팩트 공간이다. 완전 사상(영어: perfect map) $f\colon X\to Y$ 에 대하여, 만약 $X$ 가 정칙 공간이며 $Y$ 가 준파라콤팩트 공간이라면 $X$ 역시 준파라콤팩트 공간이다. 만약 위상 공간 $X$ 가 가산 개의 준파라콤팩트 닫힌집합들의 합집합이라면 $X$ 역시 준파라콤팩트 공간이다.

참고 문헌

↑ ^가 ^나 ^다 ^라 Willard, Stephen (1970). 《General topology》. Addison-Wesley Series in Mathematics (영어). Reading, Massachusetts, Menlo Park, California, London, Don Mills, Ontario: Addison-Wesley Publishing Company. MR 0264581. Zbl 0205.26601.