지수 적분 함수

수학에서 지수 적분 함수(指數積分函數, 영어: exponential integral function)은 특수 함수의 하나이며, ${\displaystyle {\frac {{e}^{x}}{x}}}$의 역도함수이다.

0아닌 실수 ${\displaystyle x}$에 대하여, 지수 적분 함수 ${\displaystyle \operatorname {Ei} (x)}$은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \operatorname {Ei} (x)=-{\mathcal {P}}\int _{-x}^{\infty }{\frac {\exp(-t)}{t}}\,dt}$

여기서 ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$는 코시 주요값이다.

임의의 복소수 ${\displaystyle x}$에 대하여 이 함수를 해석적 연속으로 정의할 수 있다. 그러나 이 경우 음의 실수에서 분지절단이 생긴다.

지수 적분 함수 ${\displaystyle \operatorname {Ei} (z)}$는 통상적으로 음의 실수에서 분지절단을 갖고, 다른 곳에서는 정칙함수이다. 또한, 다음 함수는 전해석 함수이다.

${\displaystyle \operatorname {Ei} (z)-\ln z}$

지수 적분 함수의 테일러 급수는 다음과 같다. 이는 0이 아닌 모든 실수에서 수렴한다.

${\displaystyle \operatorname {Ei} (x)=\gamma +\ln |x|+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{(k+1)!}}\qquad x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}$

이 식은 지수 적분 함수의 부정적분 정의 ${\displaystyle \operatorname {Ei} (x)=\int {\frac {e^{x}}{x}}dx}$에 ${\displaystyle e^{x}={\frac {1}{0!}}+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+...}$를 대입한 뒤 적분해서 얻을 수 있다.

• 로그 적분 함수

• “Integral exponential function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Paris, R. B. “§8.19 Generalized Exponential Integral”. 《Digital Library of Mathematical Functions》 (영어). NIST. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Exponential Integral”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “En-Function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.