최대 절댓값 원리

복소해석학에서 최대 절댓값 원리(最大絶大-原理, 영어: maximum modulus principle) 또는 최대 절댓값 정리(最大絶大-定理)는 상수 함수가 아닌 정칙 함수의 절댓값이 극대점을 갖지 않는다는 정리이다.

연결 열린집합 ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }$에 정의된 정칙 함수 ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} }$가 상수 함수가 아니라고 하자. 최대 절댓값 원리에 따르면, ${\displaystyle |f|}$는 극대점을 가지지 않는다. 즉, 임의의 ${\displaystyle z\in D}$ 및 근방 ${\displaystyle N\ni z}$에 대하여,

${\displaystyle |f(z)|<\sup _{z'\in N\cap D}|f(z')|}$

이다.^{[1]:98-99, §3.4, 정리5}

유계 연결 열린집합 ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }$에 정의된 연속 함수 ${\displaystyle f\colon \operatorname {cl} D\to \mathbb {C} }$가 ${\displaystyle D}$에서 정칙 함수이며, 상수 함수가 아니라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle |f|}$의 모든 최대점은 ${\displaystyle D}$의 경계점이다. 즉, 임의의 ${\displaystyle z\in D}$에 대하여,

${\displaystyle |f(z)|<\sup _{z'\in \partial D}|f(z')|}$

이다. 이는 경계점이 아닌 최대점은 ${\displaystyle D}$에서의 극대점이기 때문이다.

열린 사상 정리에 의하여,^[1]:99 임의의 ${\displaystyle z\in D}$ 및 근방 ${\displaystyle N\ni z}$에 대하여, ${\displaystyle f(N\cap D)}$는 열린집합이므로, ${\displaystyle f(z)}$는 ${\displaystyle f(N\cap D)}$의 내부점이다. 따라서, ${\displaystyle |f(z')|>|f(z)|}$인 ${\displaystyle z'\in N\cap D}$가 존재한다. 즉, ${\displaystyle |f(z)|}$는 ${\displaystyle N\cap D}$에서의 최댓값이 아니다.

귀류법을 사용하여, ${\displaystyle z\in D}$가 근방 ${\displaystyle N\ni z}$에서 ${\displaystyle |f|}$의 최대점이라고 하자.^[2]:134-135

${\displaystyle \{w\in \mathbb {C} \colon |w-z|\leq r\}\subseteq N}$

인 ${\displaystyle r>0}$을 취하자. 코시 적분 공식에 의하여

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(z+re^{i\theta })\mathrm {d} \theta }$

이다. 만약

${\displaystyle |f(z)|>|f(z+re^{i\theta })|}$

인 ${\displaystyle \theta \in [0,2\pi )}$가 존재한다면,

${\displaystyle |f(z)|\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|f(z+re^{i\theta })|\mathrm {d} \theta }$

에 모순이므로, 임의의 ${\displaystyle \theta \in [0,2\pi )}$에 대하여,

${\displaystyle |f(z)|=|f(z+re^{i\theta })|}$

이다. 이에 따라, ${\displaystyle f}$는 상수 함수이며, 이는 모순이다.

최대 절댓값 원리는 다음과 같은 명제들을 증명하는 데 쓰인다.

• 대수학의 기본 정리
• 슈바르츠 보조정리
• 보렐-카라테오도리 정리

• “Maximum-modulus principle”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Maximum modulus principle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.