칸 확대

범주론에서 칸 확대(Kan擴大, 영어: Kan extension)는 어떤 함자의 정의역을 다른 정의역으로 바꾸는 "최적의" 방법이다. 왼쪽 칸 확대와 오른쪽 칸 확대 두 가지가 있다.

범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, ${\displaystyle {\mathcal {C}}'}$ 및 함자

${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}'}$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle F}$와의 합성은 임의의 범주 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$에 대하여, 두 함자 범주 사이의 함자

${\displaystyle F^{*}\colon [{\mathcal {C}}',{\mathcal {D}}]\to [{\mathcal {C}},{\mathcal {D}}]}$

${\displaystyle F^{*}\colon X\mapsto X\circ F}$

를 정의한다. 만약 ${\displaystyle F^{*}}$가 왼쪽 수반 함자

${\displaystyle F_{!}\dashv F^{*}}$

를 갖는다면, 임의의 함자 ${\displaystyle X\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$에 대하여 함자 ${\displaystyle F_{!}(X)\colon {\mathcal {C}}'\to {\mathcal {D}}}$를 ${\displaystyle X}$의 ${\displaystyle F}$에 대한 왼쪽 칸 확대(영어: left Kan extension)라고 한다. 왼쪽 칸 확대는 ${\displaystyle \operatorname {Lan} _{F}X}$로 표기하기도 한다. 수반 함자의 정의에 따라, 임의의 다른 함자 ${\displaystyle Y\colon {\mathcal {C}}'\to {\mathcal {D}}}$에 대하여 자연 동형

${\displaystyle \hom _{[{\mathcal {C}},{\mathcal {D}}]}(X,F^{*}Y)\cong \hom _{[{\mathcal {C}}',{\mathcal {D}}]}(\operatorname {Lan} _{F}X,Y)}$

이 존재한다.

마찬가지로, 만약 ${\displaystyle F^{*}}$가 오른쪽 수반 함자

${\displaystyle F^{*}\dashv F_{*}}$

를 갖는다면, 임의의 함자 ${\displaystyle X\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$에 대하여 함자 ${\displaystyle F_{*}(X)\colon {\mathcal {C}}'\to {\mathcal {D}}}$를 ${\displaystyle X}$의 ${\displaystyle F}$에 대한 오른쪽 칸 확대(영어: right Kan extension)라고 한다. 오른쪽 칸 확대는 ${\displaystyle \operatorname {Ran} _{F}X}$로 표기하기도 한다. 수반 함자의 정의에 따라, 임의의 다른 함자 ${\displaystyle Y\colon {\mathcal {C}}'\to {\mathcal {D}}}$에 대하여 자연 동형

${\displaystyle \hom _{[{\mathcal {C}},{\mathcal {D}}]}(F^{*}Y,X)\cong \hom _{[{\mathcal {C}}',{\mathcal {D}}]}(Y,\operatorname {Ran} _{F}X)}$

이 존재한다.

위에서 정의된 함자 ${\displaystyle \operatorname {Lan} _{F}}$ 및 ${\displaystyle \operatorname {Ran} _{F}}$가 일반적으로 존재하지 않더라도, 특별한 함자 ${\displaystyle X}$에 대하여 ${\displaystyle \operatorname {Lan} _{F}X}$ 또는 ${\displaystyle \operatorname {Ran} _{F}X}$가 존재할 수 있다.

이러한 국소 칸 확대(영어: local Kan extension)의 정의는 대역적 칸 확대의 정의를 국소화한 것이다. 즉, ${\displaystyle X}$의 ${\displaystyle F}$에 대한 (국소) 왼쪽 칸 확대는 함자

${\displaystyle \operatorname {Lan} _{F}X\colon {\mathcal {C}}'\to {\mathcal {D}}}$

및 자연 동형

${\displaystyle \hom _{[{\mathcal {C}},{\mathcal {D}}]}(X,F^{*}(-))\cong \hom _{[{\mathcal {C}}',{\mathcal {D}}]}(\operatorname {Lan} _{F}X,-)}$

으로 구성된다. 마찬가지로, ${\displaystyle X}$의 ${\displaystyle F}$에 대한 (국소) 오른쪽 칸 확대는 함자

${\displaystyle \operatorname {Ran} _{F}X\colon {\mathcal {C}}'\to {\mathcal {D}}}$

및 자연 동형

${\displaystyle \hom _{[{\mathcal {C}},{\mathcal {D}}]}(F^{*}Y,X)\cong \hom _{[{\mathcal {C}}',{\mathcal {D}}]}(Y,\operatorname {Ran} _{F}X)}$

으로 구성된다.

${\displaystyle 1}$이 하나의 대상 및 그 항등 사상만을 갖는 범주라고 하자. 그렇다면, 임의의 함자 ${\displaystyle X\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$에 대하여, ${\displaystyle X}$의 ${\displaystyle {\mathcal {C}}\to 1}$에 대한 오른쪽 칸 확대는 ${\displaystyle X}$의 극한이며, 왼쪽 칸 확대는 ${\displaystyle X}$의 쌍대극한이다.

함자 ${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$의 왼쪽 수반 함자는 (만약 이러한 칸 확대가 존재한다면) 항등 함자 ${\displaystyle \operatorname {Id} _{\mathcal {C}}}$의 ${\displaystyle F}$에 대한 오른쪽 칸 확대 ${\displaystyle F_{*}\operatorname {Id} _{\mathcal {C}}\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}$와 같다.

${\displaystyle F_{*}\operatorname {Id} _{\mathcal {C}}\dashv F}$

함자 ${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$의 오른쪽 수반 함자는 (만약 이러한 칸 확대가 존재한다면) 항등 함자 ${\displaystyle \operatorname {Id} _{\mathcal {D}}}$의 ${\displaystyle F}$에 대한 왼쪽 칸 확대 ${\displaystyle F_{!}\operatorname {Id} _{\mathcal {D}}\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}$와 같다.

${\displaystyle F\dashv F_{!}\operatorname {Id} _{\mathcal {D}}}$

다니얼 칸이 1960년에 도입하였다. 손더스 매클레인은 칸 확대의 중요성에 대하여 다음과 같이 적었다.

• “Kan extension”. 《nLab》 (영어).