코시-오일러 방정식

코시-오일러 방정식(영어: Cauchy–Euler equation)은 선형 동차 상미분 방정식이다.

n차 코시-오일러 방정식은 미지 함수 ${\displaystyle y(x)}$에 대한, 다음과 같은 n차 상미분 방정식이다.

${\displaystyle a_{n}x^{n}y^{(n)}(x)+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x)+\cdots +a_{0}y(x)=0}$

여기서 ${\displaystyle a_{0},\dots ,a_{n}}$은 주어진 계수들이다.

2차 코시-오일러 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle x^{2}y''+axy'+by=0}$

이는 다음과 같이 풀 수 있다. 우선 다음과 같은 가설 풀이를 사용하자.

${\displaystyle y=x^{m}}$

이를 첫 번째 식에 대입하면,

${\displaystyle x^{2}m(m-1)x^{m-2}+axmx^{m-1}+bx^{m}=0}$

이 되고, ${\displaystyle x\neq 0}$일 때 공통인자 ${\displaystyle x^{m}}$을 제거하면,

${\displaystyle m^{2}+(a-1)m+b=0}$

이 된다.

여기서 ${\displaystyle m}$에 따라 미분방정식의 해를 구할 수 있다.

근의 수	해
서로 다른 두 실근	${\displaystyle y=c_{1}x^{m_{1}}+c_{2}x^{m_{2}}}$
중근	${\displaystyle y=\left(c_{1}+c_{2}\ln x\right)x^{m}}$
공역 복소근	${\displaystyle y=x^{u}\left[A\cos \left(v\ln x\right)+B\sin \left(v\ln x\right)\right],m_{1}=u+iv,m_{2}=u-iv}$

• Kreyszig, Erwin (1999). 《Advanced Engineering Mathematics 8th ed.》. John Wiley & Sons, INC. ISBN 0-471-15496-2.