코시 정리 (군론)

우선 ${\displaystyle G}$가 유한 아벨 군인 경우를 증명하자. 귀류법을 사용하여 ${\displaystyle G}$가 ${\displaystyle p}$차 원소를 가지지 않는다고 가정하자. 편의상 ${\displaystyle G}$가 최소 크기의 반례라고 하자. (즉, 크기가 ${\displaystyle p}$를 소인수로 하는, ${\displaystyle G}$보다 작은 크기의 모든 유한 아벨 군은 ${\displaystyle p}$차 원소를 갖는다.) 그렇다면 ${\displaystyle G}$는 순환군일 수 없다. (만약 ${\displaystyle G}$가 ${\displaystyle g\in G}$로 생성된 순환군이라면, ${\displaystyle g^{|G|/p}}$는 ${\displaystyle G}$의 ${\displaystyle p}$차 원소이며, 이는 모순이다.) 임의의 ${\displaystyle 1\neq g\in G}$를 취하자. ${\displaystyle H}$가 ${\displaystyle g}$로 생성된 순환군이라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle H\neq G}$이며, ${\displaystyle p}$는 ${\displaystyle g}$의 위수 ${\displaystyle |H|}$의 약수가 아니다. (만약 ${\displaystyle p\mid |H|}$라면, ${\displaystyle H}$가 ${\displaystyle p}$차 원소를 가지므로 모순이다.) 따라서 ${\displaystyle p\mid |G|/|H|}$이며, 또한 ${\displaystyle |G|/|H|<|G|}$이므로, 몫군 ${\displaystyle G/H}$은 ${\displaystyle p}$차 원소 ${\displaystyle kH}$ (${\displaystyle k\in G}$)를 가진다. 즉, ${\displaystyle k\not \in H}$이며 ${\displaystyle k^{p}\in H}$이다. 이제 ${\displaystyle k^{|H|}\in G}$가 ${\displaystyle p}$차 원소임을 보이자. 우선

${\displaystyle (k^{|H|})^{p}=(k^{p})^{|H|}=1}$

이므로 ${\displaystyle k^{|H|}}$의 위수는 1 또는 ${\displaystyle p}$이다. 만약 ${\displaystyle k^{|H|}}$의 위수가 1이라면, 즉 ${\displaystyle k^{|H|}=1}$이라면, ${\displaystyle p}$와 ${\displaystyle |H|}$은 서로소이므로 ${\displaystyle 1=ap+b|H|}$인 정수 ${\displaystyle a,b}$가 존재한다. 따라서

${\displaystyle k=k^{ap+b|H|}=k^{ap}\in H}$

이며, 이는 모순이다. 즉, ${\displaystyle k^{|H|}}$의 위수는 ${\displaystyle p}$이다.

이제 ${\displaystyle G}$가 일반적인 유한군인 경우를 증명하자. 마찬가지로, ${\displaystyle G}$가 최소 크기의 반례라고 가정하자. (즉, 크기가 ${\displaystyle p}$를 소인수로 하는, ${\displaystyle G}$보다 작은 크기의 모든 유한군은 ${\displaystyle p}$차 원소를 갖는다.) ${\displaystyle G}$의 중심 ${\displaystyle \operatorname {Z} (G)}$은 ${\displaystyle G}$의 아벨 부분군을 이루므로, 위 증명에 따라 ${\displaystyle \operatorname {Z} (G)\neq G}$이며, 따라서 ${\displaystyle p\nmid |{\operatorname {Z} (G)}|}$이다. 켤레류 방정식

${\displaystyle |G|=|{\operatorname {Z} (G)}|+\sum _{g\in S}{\frac {|G|}{|{\operatorname {C} _{G}(g)}|}}}$

을 생각하자. 여기서 ${\displaystyle S\subseteq G\setminus \operatorname {Z} (G)}$는 크기가 1이 아닌 켤레류들의 대표 원소들의 집합이며, ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(g)}$는 ${\displaystyle g}$에 대한 ${\displaystyle G}$의 중심화 부분군이다. ${\displaystyle p\mid |G|}$, ${\displaystyle p\nmid |{\operatorname {Z} (G)}|}$이므로, ${\displaystyle p\mid |{\operatorname {C} _{G}(g)}|}$인 ${\displaystyle g\in S}$가 존재한다. ${\displaystyle |{\operatorname {C} _{G}(g)}|<|G|}$이므로, ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(g)}$는 ${\displaystyle p}$차 원소를 가지며, 이는 모순이다.

${\displaystyle p}$차 대칭군 ${\displaystyle \operatorname {Sym} (p)}$ 속의 순환 ${\displaystyle \sigma =(1~2~\cdots ~p)}$으로 생성된, 크기 ${\displaystyle p}$의 순환군은 집합

${\displaystyle X=\{(g_{1},\dots ,g_{p})\in G^{p}\colon g_{1}\cdots g_{p}=1\}}$

위에 다음과 같이 자연스럽게 작용한다.

${\displaystyle \sigma \cdot (g_{1},\dots ,g_{p})=(g_{\sigma (1)},\dots ,g_{\sigma (p)})=(g_{2},\dots ,g_{p},g_{1})}$

궤도-안정자군 정리에 따라 이 군의 작용의 각 궤도의 크기는 1 또는 ${\displaystyle p}$이다. 크기 1의 궤도의 수는 ${\displaystyle g^{p}=1}$인 원소 ${\displaystyle g\in G}$의 수와 같다. 즉, ${\displaystyle p}$차 원소의 수와 1차 원소(항등원 ${\displaystyle 1\in G}$)의 수의 합이며, 특히 이는 양의 정수이다. ${\displaystyle X}$의 각 원소는 그 앞의 ${\displaystyle p-1}$개의 성분으로 유일하게 결정되므로, ${\displaystyle |X|=|G|^{p-1}}$이며, 이는 ${\displaystyle p}$의 배수이다. 또한, 궤도들은 ${\displaystyle X}$를 분할하므로, 크기 ${\displaystyle p}$의 궤도들의 수의 ${\displaystyle p}$배와 크기 1의 궤도들의 수의 합은 ${\displaystyle |X|=|G|^{p-1}}$이다. 따라서 크기 1의 궤도의 수 역시 ${\displaystyle p}$의 배수이며, 특히 ${\displaystyle p}$ 이상이다. 즉, 적어도 ${\displaystyle p-1}$개의 ${\displaystyle p}$차 원소가 존재한다.