코시 함수 방정식

코시 함수 방정식은 코시에 의해 제안된 것으로 알려진 다음 네 가지 형태의 함수방정식을 말한다.

1. ${\displaystyle f(x)}$가 ${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}$를 만족하면 ${\displaystyle f(x)=kx}$(단, k는 상수)이다.^[1]

우선 ${\displaystyle f(x)}$는 임의의 실수 ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$에 대해 구간 ${\displaystyle [a,b]}$에서 유계임을 대전제로 갖는다. 위의 식을 만족하는 ${\displaystyle f(x)}$에 대해서는 ${\displaystyle f(nx)=nf(x)}$ 가 성립한다.(n은 정수) ${\displaystyle f(nx+x)=f(nx)+f(x)}$(n은 정수)의 식을 이용하여 수학적 귀납법을 이용하면 위와 같은 결과가 나온다. ${\displaystyle f(x)}$가 ${\displaystyle [a,b]}$에서 아래로 유계이고 ${\displaystyle b-a=d}$ 라 가정하고 ${\displaystyle g(x)}$라는 함수를 새롭게 정의하자.

${\displaystyle g(x)=f(x)-(f(d)/d)x}$

이 때, 원식을 이용하면 ${\displaystyle g(x+y)=g(x)+g(y)}$임을 확인할 수 있다. y에 d를 대입하게 되면 ${\displaystyle g(x+d)=g(x)}$이라는 식을 얻게 되어 ${\displaystyle g(x)}$가 주기가 ${\displaystyle d}$인 주기함수임을 알 수 있게 된다.

${\displaystyle f(x)}$와 ${\displaystyle -(f(d)/d)x}$가 일정구간 안에서 무조건 아래로 유계이므로 ${\displaystyle g(x)}$ 또한 유계이다. 그리고 위에서 밝혔듯이 ${\displaystyle g(x)}$는 주기함수이기 때문에 ${\displaystyle g(x)}$는 실수전체에서 유계이다.

0이 아닌 실수 m이 존재한다고 가정하자. 그러면 g(x)도 f(x)와 동일한 함수방정식을 만족하므로 자연수 n에 대해 g(nm)=ng(m)이다. 그렇다면 n을 충분히 크거나 작은 수로 설정하면 무한히 크거나 작은 수를 만들 수 있고, 이는 g(x)가 실수전체에서 유계라는 가정에 모순이다. 그러므로 g(m)이 0이 아닌 m은 존재할 수 없고 모든 실수에 대해 g(x)=0이다. 따라서 f(x)=(f(d)/d)x가 성립한다. f(d)/d=k라고 설정하면 f(x)=kx가 성립한다.

1. ${\displaystyle f(x)}$가 ${\displaystyle f(x+y)=f(x)\times f(y)}$를 만족하면 ${\displaystyle f(x)=a^{x}}$(단, a는 양의 실수)이다.^[1]
2. ${\displaystyle f(x)}$가 ${\displaystyle f(xy)=f(x)+f(y)}$를 만족하면 ${\displaystyle f(x)=log_{a}x}$(단, ${\displaystyle a>0,a\neq 1}$인 실수)이다.^[1]
3. ${\displaystyle f(x)}$가 ${\displaystyle f(xy)=f(x)\times f(y)}$를 만족하면 ${\displaystyle f(x)=x^{n}}$(단, n는 실수)이다.^[1]

선택 공리가 참이라면 상수배함수가 아닌 해가 존재한다.

• 가법성