테이트-샤파레비치 군

산술기하학에서, 테이트-샤파레비치 군(Tate-Shafarevich群)은 수체 $K$ 위의 아벨 다양체 $A$ (또는 더 일반적으로 군 스킴)에 대해 정해지는 군 $Ш(A / K)$ 으로, 베유-샤틀레 군 $\mathrm {WC} (A/K)=H^{1}(G_{K},A)$ 의 원소 중 $K$ 의 모든 완비화( $K$ 에서 얻어지는 실수, 복소수 완비화와 $p$ 진수체)에서 자명한 원소로 구성되어 있다. 여기서 $G_{K}=\mathrm {Gal} (K/\mathbb {Q} )$ 는 $K$ 의 절대 갈루아 군이다. 따라서 갈루아 코호몰로지의 관점에서 $Ш(A / K)$ 는

\bigcap _{v}\mathrm {ker} \left(H^{1}\left(G_{K},A\right)\rightarrow H^{1}\left(G_{K_{v}},A_{v}\right)\right)

으로 정의할 수 있다. 이 군은 서지 랭, 존 테이트^[1]와 이고리 샤파레비치에 의해 소개되었다.^[2] 캐셀스은 표기법 $Ш(A / K)$ 를 도입하였다. 여기서 $Ш$ 는 샤파레비치의 키릴 문자 "샤"로 이전 표기법 $TS$ 또는 $TŠ$ 를 대체한다.

테이트–샤파레비치 군의 원소

기하학적으로, 테이트-샤파레비치 군의 자명하지 않은 원소는 $K$ 의 모든 자리 $v$ 에 대해 $K v$ -유리점을 갖지만 $K$ -유리점은 갖지 않는 $A$ 의 동차 공간으로 생각할 수 있다. 따라서 군은 체 $K$ 를 계수로 하는 유리 방정식에 대해 하세 원리(영어판)가 유지되지 않는 정도를 측정한다. Carl-Erik Lind는 종수 1 곡선 $x^{4}-17=2y^{2}$ 이 실수체와 모든 $p$ 진수체 위에서 해를 갖지만 유리점을 갖지 않음을 보여줌으로써 그러한 동차 공간의 예를 보였다.^[3] 에른스트 셀머는 $3x^{3}+4y^{3}+5z^{3}=0$ 를 비롯하여 더 많은 예를 제시했다.^[4]

특수한 경우로, 아벨 다양체에서 주어진 유한 차수 $n$ 의 점으로 구성된 유한 군 스킴에 대한 테이트-샤파레비치 군은 셀머 군(영어판)과 밀접한 관련이 있다.

테이트-샤파레비치 추측

테이트–샤파레비치 추측은 테이트–샤파레비치 군이 유한하다는 추측이다. 칼 루빈은 복소 곱셈을 사용하여 최대 1의 유리점군 계수를 갖는 일부 타원 곡선에 대해 이를 증명했다.^[5] Victor A. Kolyvagin은 이것을 최대 1의 해석적 랭크의 유리수에 대한 모듈러 타원 곡선으로 확장했다(나중에 모듈러성 정리는 모듈러성 가정이 항상 유지됨을 보여주었다).^[6]

캐셀스–테이트 쌍

캐셀스-테이트 쌍은 쌍선형 쌍 $Ш(A) \times Ш(Â) \to Q / Z$ 이다. 여기서 $A$ 는 아벨 다양체이고 $Â$ 는 그 쌍대이다. 캐셀스는 타원곡선에 대해 이러한 쌍을 도입하였는데, 이때 $A$ 는 $Â$ 로 식별될 수 있고 쌍은 교대 형식이다.^[7] 이 형식의 핵은 나눌 수 있는 원소로 이루어진 부분군으로, 테이트-샤파레비치 추측이 참이라면 자명 부분군이다. 테이트는 쌍을 테이트 쌍대성의 변형으로 일반 아벨 다양체로 확장했다.^[8] A에 대한 극화의 선택은 $A$ 에서 $Â$ 로 가는 사상을 제공하며, 이는 $Q / Z$ 값을 갖는 $Ш(A)$ 에 대한 쌍선형 페어링을 유도하지만, 타원 곡선의 경우와 달리 이것은 번갈아 가거나 비대칭 대칭일 필요가 없다.

타원 곡선의 경우, 캐셀스는 쌍이 번갈아 있음을 보여주었고, 그 결과 $Ш$ 의 차수가 유한하면 정사각형이 된다. 좀 더 일반적인 아벨 다형체의 경우, $Ш$ 의 차수가 유한할 때마다 제곱이라고 수년 동안 때때로 잘못 믿어졌다. 이 실수는 테이트의 결과 중 하나를 잘못 인용한 스위너톤다이어^[9]의 논문에서 비롯되었다.^[8] Poonen과 Stoll은 테이트-샤파레비치 군이 차수가 2인 유리수에 대한 특정 종수 2 곡선의 야코비안과 같이 차수가 제곱의 두 배인 몇 가지 예를 제공했다.^[10] 스테인은 거듭제곱이 차수를 나누는 홀수 소수는 홀수이다.^[11] 만약 아벨 다형체가 주극화를 갖는다면, $Ш$ 의 형태는 비대칭 대칭이며, 이것은 $Ш$ 의 차수가 정사각형이거나 (유한한 경우) 정사각형의 두 배라는 것을 의미한다. 유리수 약수(타원 곡선의 경우와 같이)이면 형식이 번갈아 나타나고 $Ш$ 의 차수는 제곱이다(유한한 경우).

같이 보기

버치-스위너턴다이어 추측

각주

참고 문헌

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Cassels, John William Scott (1962b), “Arithmetic on curves of genus 1. IV. Proof of the Hauptvermutung”, 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 211 (211): 95–112, doi:10.1515/crll.1962.211.95, ISSN 0075-4102, MR 0163915
Cassels, John William Scott (1991), 《Lectures on elliptic curves》, London Mathematical Society Student Texts 24, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9781139172530, ISBN 978-0-521-41517-0, MR 1144763
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Tate, John (1958), 《WC-groups over p-adic fields》, Séminaire Bourbaki; 10e année: 1957/1958 13, Paris: Secrétariat Mathématique, MR 0105420
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[FOOTNOTELangTate1958-1] Lang & Tate 1958.

[FOOTNOTEShafarevich1959-2] Shafarevich 1959.

[FOOTNOTELind1940-3] Lind 1940.

[FOOTNOTESelmer1951-4] Selmer 1951.

[FOOTNOTERubin1987-5] Rubin 1987.

[FOOTNOTEKolyvagin1988-6] Kolyvagin 1988.

[FOOTNOTECassels1962-7] Cassels 1962.

[FOOTNOTETate1963-8] 가 ^나 Tate 1963.

[FOOTNOTESwinnerton-Dyer1967-9] Swinnerton-Dyer 1967.

[FOOTNOTEPoonenStoll1999-10] Poonen & Stoll 1999.

[FOOTNOTEStein2004-11] Stein 2004.

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