퇴플리츠 연산자

연산자 이론에서 퇴플리츠 연산자(Toeplitz operator)는 하디 공간에 대한 원 위의 곱셈 연산자의 압축이다.

${\displaystyle S^{1}}$을 복소 평면의 단위 원으로, 표준 르베그 측도를 가지며, ${\displaystyle L^{2}(S^{1})}$을 복소수 값 제곱 적분 가능 함수의 힐베르트 공간이라고 하자. ${\displaystyle S^{1}}$ 위의 유계 가측 복소수 값 함수 ${\displaystyle g}$는 ${\displaystyle L^{2}(S^{1})}$에 대한 곱셈 연산자 ${\displaystyle M_{g}}$를 정의한다. ${\displaystyle P}$를 ${\displaystyle L^{2}(S^{1})}$에서 하디 공간 ${\displaystyle H^{2}}$로의 투영이라고 하자. 심볼 ${\displaystyle g}$를 가진 퇴플리츠 연산자는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle T_{g}=PM_{g}\vert _{H^{2}},}$

여기서 " | "는 제한을 의미한다.

${\displaystyle H^{2}}$ 위의 유계 연산자는 기저 ${\displaystyle \{z^{n},z\in \mathbb {C} ,n\geq 0\}}$에서 행렬 표현이 상수 대각선을 갖는 경우에만 퇴플리츠 연산자이다.

• 정리: 만약 ${\displaystyle g}$가 연속이면, ${\displaystyle T_{g}-\lambda }$는 ${\displaystyle \lambda }$가 집합 ${\displaystyle g(S^{1})}$에 속하지 않는 경우에만 프레드홀름이다. 만약 프레드홀름이라면, 그 지수는 원점에 대한 ${\displaystyle g}$가 그리는 곡선의 회전 수의 음수이다.

증명은 Douglas (1972, p.185)를 참조하라. 그는 이 정리를 마르크 크레인, 해럴드 위덤, 앨런 데비나츠에게 돌린다. 이것은 아티야-싱어 지수 정리의 중요한 특별한 경우로 간주될 수 있다.

• 액슬러-장성룽-새러슨 정리: 연산자 ${\displaystyle T_{f}T_{g}-T_{fg}}$는 ${\displaystyle H^{\infty }[{\bar {f}}]\cap H^{\infty }[g]\subseteq H^{\infty }+C^{0}(S^{1})}$인 경우에만 콤팩트이다.

여기서 ${\displaystyle H^{\infty }}$는 ${\displaystyle L^{\infty }(S^{1})}$의 해석 함수(음의 푸리에 계수가 0인 함수)의 닫힌 부분 대수, ${\displaystyle H^{\infty }[f]}$는 ${\displaystyle f}$와 ${\displaystyle H^{\infty }}$에 의해 생성된 ${\displaystyle L^{\infty }(S^{1})}$의 닫힌 부분 대수, ${\displaystyle C^{0}(S^{1})}$은 원 위의 연속 함수 공간(대수적 집합으로서)을 나타낸다. S.Axler, S-Y. Chang, D. Sarason (1978)을 참조하라.

• 퇴플리츠 행렬

• S.Axler, S-Y. Chang, D. Sarason (1978), “Products of Toeplitz operators”, 《Integral Equations and Operator Theory》 1 (3): 285–309, doi:10.1007/BF01682841, S2CID 120610368  CS1 관리 - 여러 이름 (링크)
• Böttcher, Albrecht; Grudsky, Sergei M. (2000), 《Toeplitz Matrices, Asymptotic Linear Algebra, and Functional Analysis》, Birkhäuser, ISBN 978-3-0348-8395-5 .
• Böttcher, A.; Silbermann, B. (2006), 《Analysis of Toeplitz Operators》, Springer Monographs in Mathematics 2판, Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-32434-8 .
• Douglas, Ronald (1972), 《Banach Algebra techniques in Operator theory》, Academic Press .
• Rosenblum, Marvin; Rovnyak, James (1985), 《Hardy Classes and Operator Theory》, Oxford University Press . Reprinted by Dover Publications, 1997, ISBN 978-0-486-69536-5.