파울리-루반스키 벡터

파울리-루반스키 벡터(프랑스어: vecteur de Pauli-Lubański)는 운동량 4차원 벡터와 각운동량 4차원 텐서의 "4차원 벡터곱"인 유사벡터다. 대개 ${\displaystyle W^{\mu }}$로 나타낸다. 그 제곱 ${\displaystyle W^{2}}$은 각운동량의 노름으로서, 질량 ${\displaystyle P^{2}}$과 함께 푸앵카레 군의 두 카시미르 불변량을 이룬다. 폴란드의 유제프 루반스키 (폴란드어: Józef Kazimierz Lubański)가 1942년에 도입하였다.

다음과 같이 정의한다. (여기서 ${\displaystyle \epsilon }$은 레비치비타 유사텐서고, ${\displaystyle J^{\mu \nu }}$는 각운동량, ${\displaystyle P}$는 운동량이다.)

${\displaystyle W_{\mu }={\frac {1}{2}}\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }J^{\nu \rho }P^{\sigma }}$

파울리-루반스키 벡터는 운동량과 가환하지만, 각운동량과는 그렇지 않다. 교환관계는 다음과 같다.

${\displaystyle [P^{\mu },W^{\nu }]=0}$

${\displaystyle [J^{\mu \nu },W^{\rho }]=i(g^{\rho \nu }W^{\mu }-g^{\rho \mu }W^{\nu })}$

또한 항상 운동량과 4차원 직교한다.

${\displaystyle P\cdot W=0}$

그 제곱 ${\displaystyle W^{2}}$은 카시미르 불변량을 이룬다. 즉 다른 모든 연산자와 가환한다.

${\displaystyle [P,W^{2}]=0}$

${\displaystyle [J,W^{2}]=0}$

그 값은 각운동량의 제곱이다. 즉 각운동량 ${\displaystyle {\vec {J}}}$을 생각하면

${\displaystyle W^{2}=-m^{2}({\vec {J}}\cdot {\vec {J}})}$

여기서 ${\displaystyle m}$은 질량이다.

유질량장의 경우 ${\displaystyle W^{2}}$는 입자의 총 스핀을 나타낸다. 그 고윳값은 다음과 같다.

${\displaystyle W^{2}=W_{\mu }W^{\mu }=m^{2}s(s+1)}$

여기서 ${\displaystyle s}$는 스핀이다.

무질량장의 경우 ${\displaystyle W^{2}=0}$이고, ${\displaystyle W^{0}=-{\vec {J}}\cdot {\vec {P}}}$는 나선도를 나타낸다.

• 위그너 분류
• 각운동량 연산자
• 유사벡터
• 유도 표현

• Lubański, J. K. 《Physica》 9: 310. doi:10.1016/S0031-8914(42)90113-7.  |제목=이(가) 없거나 비었음 (도움말)
• Lubański, J. K. 《Physica》 9: 325. doi:10.1016/S0031-8914(42)90114-9.  |제목=이(가) 없거나 비었음 (도움말)