파피안

선형대수학에서 파피안(영어: Pfaffian)은 짝수 차원의 정사각 반대칭 행렬에 대하여 정의하는 다항식이다. 이러한 행렬의 행렬식은 파피안의 제곱이다.

가환환 ${\displaystyle K}$가 주어졌으며, ${\displaystyle K}$ 계수의 ${\displaystyle 2n\times 2n}$ 실수 반대칭 정사각 행렬 ${\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (2n,2n;K)}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle A}$의 파피안 ${\displaystyle \operatorname {pf} (A)}$는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {pf} A={\frac {1}{2^{n}n!}}\sum _{\sigma \in \operatorname {Sym} (2n)}\operatorname {sgn} (\sigma )\prod _{i=1}^{n}A_{\sigma (2i-1),\sigma (2i)}\in K}$

여기서

• ${\displaystyle \operatorname {Sym} (2n)}$은 ${\displaystyle \{1,2,\dotsc ,2n\}}$의 순열들의 집합이다.
• ${\displaystyle \operatorname {sgn} (\sigma )\in \{\pm 1\}}$는 순열의 부호수이다.

위 공식을 따르면, ${\displaystyle K}$에서 ${\displaystyle n!}$의 역수가 존재해야 하는 것처럼 보이지만, 사실 그렇지 않다. 위 합에서, 각 항이 ${\displaystyle 2^{n}n!}$번 등장하므로, 사실 위 공식에서 나눗셈이 필요하지 않다. 구체적으로, ${\displaystyle \{1,2,\dotsc ,2n\}}$의 분할 가운데, 크기 2의 집합들로 구성된 것들의 집합을 ${\displaystyle \pi (2n)}$이라고 하자. 그 크기는

${\displaystyle |\pi (2n)|={\frac {(2n)!}{2^{n}n!}}}$

이다. ${\displaystyle \pi (2n)}$의 원소는 표준적으로

${\displaystyle a=\{\{a(1),a(2)\},\{a(3),a(4)\},\dotsc ,\{a(2n-1),a(2n)\}\}}$

${\displaystyle \forall k\colon a(2k)<a(2k+1)}$

${\displaystyle a(1)<a(3)<a(5)<\dotsb <a(2k-1)}$

의 꼴로 적을 수 있다. 이를 순열

${\displaystyle \{1,\dotsc ,2n\}\to \{1,\dotsc ,2n\}}$

${\displaystyle k\mapsto a(k)}$

로 간주했을 때, 이는 포함 사상 ${\displaystyle \pi (2n)\hookrightarrow \operatorname {Sym} (2n)}$을 정의한다. 그렇다면, 파피안은 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {pf} A=\sum _{a\in \pi (2n)}\operatorname {sgn} (a)A_{a(1),a(2)}A_{a(3),a(4)}\dotsm A_{a(2n-1),a(2n)}\in K}$

실수 반대칭 행렬의 경우, 파피안은 고윳값으로 간단히 표현된다. ${\displaystyle 2n\times 2n}$ 실수 반대칭 정사각 행렬 ${\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (2n,2n;\mathbb {R} )}$의 고윳값이 ${\displaystyle \pm i\lambda _{1},\dots ,\pm i\lambda _{n}}$이라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle A}$의 파피안 ${\displaystyle \operatorname {pf} (A)}$는 ${\displaystyle \lambda _{i}}$들의 곱이다. 즉, 식으로 쓰면 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {pf} A=\operatorname {pf} {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}0&\lambda _{1}\\-\lambda _{1}&0\end{matrix}}&0&\cdots &0\\0&{\begin{matrix}0&\lambda _{2}\\-\lambda _{2}&0\end{matrix}}&&0\\\vdots &&\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &{\begin{matrix}0&\lambda _{n}\\-\lambda _{n}&0\end{matrix}}\end{bmatrix}}=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}}$

파피안은 항상 행렬 원소들에 대한 다항식이다. 예를 들어, 4×4 행렬의 경우 파피안은 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {pf} {\begin{bmatrix}0&a&b&c\\-a&0&d&e\\-b&-d&0&f\\-c&-e&-f&0\end{bmatrix}}=af-be+dc}$.

짝수 차원 반대칭 행렬의 고윳값은 ${\displaystyle \pm i\lambda _{1},\dots ,\pm i\lambda _{n}}$의 꼴이므로, 그 행렬식은 파피안의 제곱이다. 즉, 식으로 쓰면 다음과 같다.

${\displaystyle \det A=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}\cdots \lambda _{n}^{2}=\left(\operatorname {pf} A\right)^{2}}$

홀수 차원 반대칭 행렬은 통상적으로 0으로 정의한다. 0×0 행렬의 파피안은 (0개의 수의 곱이므로) 통상적으로 1이다.

짝수 차원 반대칭 행렬 ${\displaystyle A}$는 다음과 같이 2차 미분 형식 ${\displaystyle \omega }$로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle \omega ={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{2n}\sum _{j=1}^{2n}A_{ij}dx^{i}\wedge dx^{j}}$.

그렇다면 그 파피안은 다음과 같다.

${\displaystyle \omega ^{n}/n!=\operatorname {pf} (A)\,dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{2n}}$

파피안의 개념은 아서 케일리가 1852년의 한 논문에서 도입하였으며,^[1] 요한 프리드리히 파프의 이름을 땄다. 이 논문에서 케일리는 다음과 같이 적었다.

• 행렬식
• 폴리오미노
• 통계역학

• “Pfaffian”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Pfaffian”. 《nLab》 (영어).