페아노 존재 정리

우선

${\displaystyle b>0}$

${\displaystyle \operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b)=\{y\in \mathbb {R} ^{n}\colon |y-y_{0}|\leq b\}\subseteq U}$

${\displaystyle M=\sup _{[t_{0},t_{0}+a]\times \operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b)}|f|<\infty }$

${\displaystyle \delta =\min \left\{a,{\frac {b}{M}}\right\}}$

라고 하자. 연속 함수 ${\displaystyle [t_{0},t_{0}+\delta ]\to \operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b)}$들의 상한 노름 ${\displaystyle \Vert \cdot \Vert _{\infty }}$에 대한 바나흐 공간 ${\displaystyle {\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b))}$ 위의 다음과 같은 적분 작용소를 생각하자.

${\displaystyle T\colon {\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b))\to {\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b))}$

${\displaystyle T\phi \colon t\mapsto y_{0}+\int _{t_{0}}^{t}f(s,y(s))\mathrm {d} s}$

이 작용소의 공역을 ${\displaystyle {\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b))}$로 제한할 수 있는 것은 임의의 ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b))}$ 및 ${\displaystyle t\in [t_{0},t_{0}+\delta ]}$에 대하여

${\displaystyle |(T\phi )(t)-y_{0}|\leq \int _{t_{0}}^{t}|f(s,\phi (s))|\mathrm {d} s\leq M\delta \leq b}$

이기 때문이다. 위 초깃값 문제의 해 ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b))}$는 자명하게 ${\displaystyle T}$의 고정점과 동치이다. 샤우데르 고정점 정리에 따라, ${\displaystyle T}$의 고정점의 존재는 다음 두 가지를 보이는 것으로 충분하다.

• ㈀ ${\displaystyle T}$는 연속 함수
• 치역 ${\displaystyle T({\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b)))}$은 ${\displaystyle {\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b))}$의 상대 콤팩트 집합

아르첼라-아스콜리 정리에 따라, 두 번째 조건은 다음 두 가지를 보이는 것으로 충분하다.

• ㈁ ${\displaystyle T({\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b)))}$는 유계 집합
• ㈂ ${\displaystyle T({\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b)))}$는 균등 동등 연속 함수족

㈀: ${\displaystyle \Vert \phi _{n}-\phi \Vert _{\infty }\to 0}$라고 가정하자. ${\displaystyle f}$는 ${\displaystyle [t_{0},t_{0}+\delta ]\times \operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b)}$에서 균등 연속 함수이므로,

${\displaystyle \sup _{s\in [t_{0},t_{0}+\delta ]}|f(s,\phi _{n}(s))-f(s,\phi (s))|\to 0}$

이다. 또한

${\displaystyle |(T\phi _{n}-T\phi )(t)|\leq \int _{t_{0}}^{t}|f(s,\phi (s))-f(s,\psi (s))|\mathrm {d} s\leq \delta \sup _{s\in [t_{0},t_{0}+\delta ]}|f(s,\phi (s))-f(s,\psi (s))|}$

이므로,

${\displaystyle \Vert T\phi _{n}-T\phi \Vert _{\infty }\leq \delta \sup _{s\in [t_{0},t_{0}+\delta ]}|f(s,\phi (s))-f(s,\psi (s))|\to 0}$

이다.

㈁: 임의의 ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b))}$ 및 ${\displaystyle t\in [t_{0},t_{0}+\delta ]}$에 대하여,

${\displaystyle |(T\phi )(t)|\leq |y_{0}|+\int _{t_{0}}^{t}|f(s,\phi (s))|\mathrm {d} s\leq |y_{0}|+M\delta }$

㈂: 임의의 ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {C}}([t_{0},t_{0}+\delta ],\operatorname {cl} \operatorname {ball} (y_{0},b))}$ 및 ${\displaystyle t,t'\in [t_{0},t_{0}+\delta ]}$에 대하여,

${\displaystyle |(T\phi )(t)-(T\phi )(t')|\leq \left|\int _{t'}^{t}|f(s,\phi (s))|\mathrm {d} s\right|\leq M|t-t'|}$

만약 ${\displaystyle U=\mathbb {R} ^{n}}$이며 ${\displaystyle f}$가 유계 함수라면, 위 증명에서 ${\displaystyle b=\infty }$ 및 ${\displaystyle M=\sup |f|}$ 및 ${\displaystyle \delta =a}$를 취하면 대역적 해의 존재의 증명을 얻는다.