풍성한 범주

범주론에서 풍성한 범주(豐盛-範疇, 영어: enriched category)는 "사상 집합"이 집합 대신 다른 모노이드 범주의 대상이 될 수 있는, 범주의 개념의 일반화이다.

모노이드 범주

${\displaystyle ({\mathcal {M}},\otimes \colon {\mathcal {M}}\times {\mathcal {M}}\to {\mathcal {M}},I\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {M}}),\alpha \colon ({\mathcal {M}}\otimes {\mathcal {M}})\otimes {\mathcal {M}}\Rightarrow {\mathcal {M}}\otimes ({\mathcal {M}}\otimes {\mathcal {M}}),\lambda \colon (I\otimes {\mathcal {M}})\Rightarrow \operatorname {Id} _{\mathcal {M}},\rho \colon ({\mathcal {M}}\otimes I)\Rightarrow \operatorname {Id} _{\mathcal {M}})}$

가 주어졌다고 하자. ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ 위의 풍성한 범주(영어: category enriched over ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$) ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 모임 ${\displaystyle \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})}$. 이 모임의 원소를 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 대상(영어: object)이라고 한다.
• 임의의 ${\displaystyle X,Y\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})}$에 대하여, ${\displaystyle \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {M}})}$.
• 임의의 ${\displaystyle X\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})}$에 대하여, ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$-사상 ${\displaystyle \operatorname {id} _{X}\colon I\to \hom _{\mathcal {C}}(X,X)}$. 이는 항등 사상을 나타낸다.
• 임의의 ${\displaystyle X,Y,Z\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})}$에 대하여, ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$-사상 ${\displaystyle \circ _{XYZ}\colon \hom _{\mathcal {C}}(Y,Z)\otimes \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)\to \hom _{\mathcal {C}}(X,Z)}$. 이는 사상의 합성을 나타낸다.

이 데이터는 다음 세 그림을 가환하게 만들어야만 한다.

• (사상 합성의 결합 법칙)

  ${\displaystyle {\begin{matrix}\left(\hom _{\mathcal {C}}(Z,W)\otimes \hom _{\mathcal {C}}(Y,Z)\right)\otimes \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)&{\xrightarrow {\circ _{YZW}\otimes \operatorname {id} }}&\hom _{\mathcal {C}}(Y,W)\otimes \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)&{\xrightarrow {\circ _{XYW}}}&\hom _{\mathcal {C}}(X,W)\\\downarrow \scriptstyle \alpha &&&&\downarrow \scriptstyle \operatorname {id} \\\hom _{\mathcal {C}}(Z,W)\otimes \left(\hom _{\mathcal {C}}(Y,Z)\otimes \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)\right)&{\xrightarrow[{\operatorname {id} \otimes \circ _{XYZ}}]{}}&\hom _{\mathcal {C}}(Z,W)\otimes \hom _{\mathcal {C}}(X,Z)&{\xrightarrow[{\circ _{XZW}}]{}}&\hom _{\mathcal {C}}(X,W)\end{matrix}}}$

• (사상 합성의 왼쪽 항등원)

  ${\displaystyle {\begin{matrix}I\otimes \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)&{\xrightarrow {\operatorname {id} _{Y}\otimes \operatorname {id} }}&\hom _{\mathcal {C}}(Y,Y)\otimes \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)\\&{\scriptstyle \lambda }\searrow &\downarrow \scriptstyle \circ _{XYY}\\&&\hom _{\mathcal {C}}(X,Y)\end{matrix}}}$

• (사상 합성의 오른쪽 항등원)

  ${\displaystyle {\begin{matrix}\hom _{\mathcal {C}}(X,Y)\otimes I&{\xrightarrow {\operatorname {id} \otimes \operatorname {id} _{X}}}&\hom _{\mathcal {C}}(X,Y)\otimes \hom _{\mathcal {C}}(X,X)\\&{\scriptstyle \rho }\searrow &\downarrow \scriptstyle \circ _{XXY}\\&&\hom _{\mathcal {C}}(X,Y)\end{matrix}}}$

모노이드 범주 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ 위의 두 풍성한 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ 사이의 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$-풍성한 함자(영어: ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$-enriched functor) ${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 각 대상 ${\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}$에 대하여, 대상 ${\displaystyle F(X)\in {\mathcal {D}}}$
• 두 대상 ${\displaystyle X,Y\in {\mathcal {C}}}$에 대하여, ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ 속의 사상 ${\displaystyle F_{XY}\colon \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)\to \hom _{\mathcal {D}}(F(X),F(Y))}$

이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

• (항등원의 보존) 임의의 대상 ${\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}$에 대하여 다음 그림이 가환한다.

  ${\displaystyle {\begin{matrix}I\\{\scriptstyle \operatorname {id} _{X}}\downarrow &\searrow {\scriptstyle \operatorname {id} _{F(X)}}\\\hom _{\mathcal {C}}(X,X)&{\xrightarrow[{F_{XX}}]{}}&\hom _{\mathcal {D}}(F(X),F(X))\end{matrix}}}$

• (사상 합성의 보존) 임의의 대상 ${\displaystyle X,Y,Z\in {\mathcal {C}}}$에 대하여 다음 그림이 가환한다.

  ${\displaystyle {\begin{matrix}\hom _{\mathcal {C}}(Y,Z)\otimes \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)&{\xrightarrow {\circ }}&\hom _{\mathcal {C}}(X,Z)\\{\scriptstyle F_{YZ}\otimes F_{XY}}\downarrow &&\downarrow \scriptstyle F_{XZ}\\\hom _{\mathcal {D}}(F(Y),F(Z))\otimes \hom _{\mathcal {D}}(F(X),F(Y))&{\xrightarrow[{\circ }]{}}&\hom _{\mathcal {D}}(F(X),F(Z))\end{matrix}}}$

모노이드 범주 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ 위의 두 풍성한 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ 사이의 두 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$-풍성한 함자 ${\displaystyle F,G\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$ 사이의 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$-풍성한 자연 변환(영어: ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$-enriched natural transformation) ${\displaystyle \eta \colon F\Rightarrow G}$은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 각 대상 ${\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}$에 대하여, ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ 속의 사상 ${\displaystyle \eta _{X}\colon I\to \hom _{\mathcal {D}}(F(X),G(X))}$

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• (풍성한 함자 구조의 보존) 임의의 대상 ${\displaystyle X,Y\in {\mathcal {C}}}$에 대하여 다음 그림이 가환한다.

  ${\displaystyle {\begin{matrix}&&\hom _{\mathcal {C}}(X,Y)\otimes I&\xrightarrow {G_{XY}\otimes \eta _{X}} &\hom _{\mathcal {D}}(G(X),G(Y))\otimes \hom _{\mathcal {D}}(F(X),G(X))\\&{\scriptstyle \rho ^{-1}}\nearrow &&&&\searrow {\scriptstyle \circ }\\\hom _{\mathcal {C}}(X,Y)&&&&&&\hom _{\mathcal {D}}(F(X),G(Y))\\&{\scriptstyle \lambda ^{-1}}\searrow &&&&\nearrow {\scriptstyle \circ }\\&&I\otimes \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)&\xrightarrow {\eta _{Y}\otimes F_{XY}} &\hom _{\mathcal {D}}(F(Y),G(Y))\otimes \hom _{\mathcal {D}}(F(X),F(Y))\end{matrix}}}$

만약 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$이 국소적으로 작은 닫힌 대칭 모노이드 범주일 때, ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$은 스스로 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$-풍성한 범주를 이루며, 표현 가능 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$-풍성한 함자

${\displaystyle \hom _{\mathcal {D}}(F(X),-)\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {M}}}$

${\displaystyle \hom _{\mathcal {D}}(-,G(Y))\colon {\mathcal {D}}^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {M}}}$

가 존재한다. 이 경우, ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$-풍성한 자연 변환 조건은 다음과 같이 쓸 수 있다.

• (풍성한 함자 구조의 보존) 임의의 대상 ${\displaystyle X,Y\in {\mathcal {C}}}$에 대하여 다음 그림이 가환한다.

  ${\displaystyle {\begin{matrix}\hom _{\mathcal {C}}(X,Y)&\xrightarrow {F} &\hom _{\mathcal {D}}(F(X),F(Y))\\{\scriptstyle G}\downarrow &&\downarrow {\scriptstyle \hom _{\mathcal {D}}(\operatorname {id} ,\eta _{Y})}\\\hom _{\mathcal {D}}(G(X),G(Y))&{\xrightarrow[{\hom _{\mathcal {D}}(\eta _{X},\operatorname {id} )}]{}}&\hom _{\mathcal {D}}(F(X),G(Y))\end{matrix}}}$

모노이드 범주 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$이 주어졌을 때, 작은(=대상 모임이 집합인) ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$-풍성한 범주, ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$-풍성한 함자, ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$-풍성한 자연 변환은 2-범주 ${\displaystyle \operatorname {{\mathcal {M}}-Cat} }$를 이룬다.

만약 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$이 대칭 모노이드 범주일 때, ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$-풍성한 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 반대 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$-풍성한 범주(영어: opposite ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$-enriched category) ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}$는 다음과 같다.

• ${\displaystyle \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}}^{\operatorname {op} })=\operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})}$
• ${\displaystyle \hom _{{\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}(X,Y)=\hom _{\mathcal {C}}(Y,X)}$
• 사상의 합성

  ${\displaystyle \hom _{{\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}(Y,Z)\otimes \hom _{{\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}(X,Y)\to \hom _{{\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}(X,Z)}$

  는 다음과 같다.

  ${\displaystyle \hom _{\mathcal {C}}(Z,Y)\otimes \hom _{\mathcal {C}}(Y,X)\xrightarrow {\sigma } \hom _{\mathcal {C}}(Y,X)\otimes \hom _{\mathcal {C}}(Z,Y)\xrightarrow {\circ } \hom _{\mathcal {C}}(Z,X)}$

• 항등 사상 ${\displaystyle I\to \hom _{{\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}(X,X)}$는 단순히 ${\displaystyle I\xrightarrow {\operatorname {id} _{X}} \hom _{\mathcal {C}}(X,X)}$이다.

만약 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$이 대칭 모노이드 범주일 때, ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$-풍성한 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$의 텐서곱(영어: tensor product) ${\displaystyle {\mathcal {C}}\otimes {\mathcal {D}}}$는 다음과 같다.

• ${\displaystyle \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}}\otimes {\mathcal {D}})=\operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})\times \operatorname {Ob} ({\mathcal {D}})}$
• ${\displaystyle \hom _{{\mathcal {C}}\otimes {\mathcal {D}}}((X,Y),(X',Y'))=\hom _{\mathcal {C}}(X,X')\otimes \hom _{\mathcal {D}}(Y,Y')}$
• 사상의 합성

  ${\displaystyle \hom _{{\mathcal {C}}\otimes {\mathcal {D}}}((X',Y'),(X'',Y''))\otimes \hom _{{\mathcal {C}}\otimes {\mathcal {D}}}((X,Y),(X',Y'))\to \hom _{{\mathcal {C}}\otimes {\mathcal {D}}}((X,Y),(X'',Y''))}$

  은 다음과 같다.

  ${\displaystyle (\hom _{\mathcal {C}}(X',X'')\otimes \hom _{\mathcal {D}}(Y',Y''))\otimes (\hom _{\mathcal {C}}(X,X')\otimes \hom _{\mathcal {D}}(Y,Y'))\xrightarrow {\cong } (\hom _{\mathcal {C}}(X',X'')\otimes \hom _{\mathcal {C}}(X,X'))\otimes (\hom _{\mathcal {D}}(Y',Y'')\otimes \hom _{\mathcal {D}}(Y,Y'))\xrightarrow {\circ \otimes \circ } \hom _{\mathcal {C}}(X,X'')\otimes \hom _{\mathcal {D}}(Y,Y'')}$

• 항등 사상 ${\displaystyle I\xrightarrow {} \hom _{{\mathcal {C}}\otimes {\mathcal {D}}}((X,Y),(X,Y))}$은

  ${\displaystyle I\xrightarrow {\cong } I\otimes I\xrightarrow {\operatorname {id} _{X}\otimes \operatorname {id} _{Y}} \hom _{\mathcal {C}}(X,X)\otimes \hom _{\mathcal {D}}(Y,Y)}$

  이다.

대칭 모노이드 범주 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$이 주어졌을 때, ${\displaystyle \operatorname {{\mathcal {M}}-Cat} }$는 풍성한 범주의 텐서곱에 대하여 대칭 모노이드 2-범주를 이룬다.

국소적으로 작은 모노이드 범주 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$이 주어졌을 때, 작은 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$-풍성한 범주의 2-범주 ${\displaystyle \operatorname {{\mathcal {M}}-Cat} }$와 작은 범주의 2-범주 ${\displaystyle \operatorname {Cat} }$ 사이에 표준적인 표현 가능 2-함자

${\displaystyle \hom _{\operatorname {{\mathcal {M}}-Cat} }(1_{\operatorname {{\mathcal {M}}-Cat} },-)\colon \operatorname {{\mathcal {M}}-Cat} \to \operatorname {Cat} }$

가 존재한다.^[1] 여기서 ${\displaystyle 1_{\operatorname {{\mathcal {M}}-Cat} }\in \operatorname {{\mathcal {M}}-Cat} }$은 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {Ob} (1_{\operatorname {{\mathcal {M}}-Cat} })=\{\bullet \}}$

${\displaystyle \hom _{1_{\operatorname {{\mathcal {M}}-Cat} }}(\bullet ,\bullet )=I}$

국소적으로 작은 범주는 집합의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Set} }$ 위의 풍성한 범주와 같다.

작은 범주의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Cat} }$ 위의 풍성한 범주를 2-범주(영어: 2-category)라고 한다. 보다 일반적으로, ${\displaystyle n}$-범주의 범주 ${\displaystyle n{\text{-Cat}}}$ 위의 풍성한 범주를 ${\displaystyle (n+1)}$-범주(영어: ${\displaystyle (n+1)}$-category)라고 한다.

가환환 ${\displaystyle R}$ 위의 가군들의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Mod} _{R}}$는 텐서곱에 대하여 모노이드 범주를 이룬다. 이 위의 풍성한 범주는 ${\displaystyle R}$-선형 범주(-線型範疇, 영어: ${\displaystyle R}$-linear category)라고 한다.

특히, ${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$ (정수환)인 경우, ${\displaystyle \operatorname {Mod} _{R}}$는 아벨 군의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Ab} }$와 같다. ${\displaystyle \operatorname {Ab} }$-풍성한 범주는 준가법 범주(準加法範疇, 영어: preadditive category)라고 하고, ${\displaystyle \operatorname {Ab} }$-풍성한 함자는 가법 함자(加法範疇, 영어: additive functor)라고 한다.

준가법 범주는 항상 영 대상을 가지며, 유한 곱과 유한 쌍대곱이 일치한다.

가법 범주(영어: additive category)는 유한 완비 준가법 범주이다. (준가법 범주에서 유한 곱과 유한 쌍대곱이 일치하므로, 유한 완비 범주인 것은 유한 쌍대 완비 범주인 것과 동치이다.)

• 내적 범주

• Kelly, G. M. (1982). 《Basic Concepts of Enriched Category Theory》 (PDF). London Mathematical Society Lecture Note Series (영어) 64. Cambridge University Press. 

• “Category”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Higher-dimensional category”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Enriched category theory”. 《nLab》 (영어). 
• “Enriched category”. 《nLab》 (영어). 
• “Enriched functor”. 《nLab》 (영어). 
• “Strict n-category”. 《nLab》 (영어). 
• “Linear category”. 《nLab》 (영어). 
• “Linear functor”. 《nLab》 (영어). 
• “Preadditive category”. 《nLab》 (영어). 
• “Additive functor”. 《nLab》 (영어). 
• “Additive category”. 《nLab》 (영어).