피에르츠-파울리 작용

이론물리학에서 피에르츠-파울리 작용(Fierz-Pauli作用, 영어: Fierz–Pauli action) 또는 선형화 중력(線型化重力, 영어: linearized gravity)은 스핀 2의 무질량 자유 입자를 나타내는 작용이다.^[1] 이는 일반 상대성이론 및 다른 중력 이론들의 선형화 극한에 해당한다.

${\displaystyle D}$차원 민코프스키 공간 위에서, 대칭 (0,2)차 텐서장 ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$를 생각하자. 그렇다면, 이에 대한 피에르츠-파울리 작용은 다음과 같다.^{[1]:63, (3.84)}

${\displaystyle S=\int \mathrm {d} ^{D}x\,{\mathcal {L}}_{\text{FP}}=\int \mathrm {d} ^{D}x\,\left({\frac {1}{4}}\partial ^{\mu }h^{\nu \rho }\partial _{\mu }h_{\nu \rho }-{\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }h^{\nu \rho }\partial _{\nu }h_{\mu \rho }+{\frac {1}{2}}(\partial ^{\mu }\operatorname {tr} h)\partial ^{\nu }h_{\mu \nu }-{\frac {1}{4}}(\partial ^{\mu }\operatorname {tr} h)(\partial _{\mu }\operatorname {tr} h)\right)}$

여기서

• ${\displaystyle \eta =\operatorname {diag} (-1,1,\dotsc ,1)}$는 민코프스키 공간의 계량이다.
• 첨자는 ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$를 사용하여 올리거나 내린다. 즉, ${\displaystyle \partial ^{\mu }=\eta ^{\mu \nu }\partial _{\nu }}$, ${\displaystyle h^{\mu \nu }=\eta ^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }h_{\rho \sigma }}$이다.
• ${\displaystyle \operatorname {tr} h=\eta ^{\mu \nu }h_{\mu \nu }}$는 ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$의 대각합이다.

피에르츠-파울리 작용의 운동 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle 0=\partial ^{2}h_{\mu \nu }+\partial _{\mu }\partial _{\nu }h-\partial ^{\rho }(\partial _{\mu }h_{\nu \rho }+\partial _{\nu }h_{\mu \rho })}$

텐서장 ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$는 다음과 같은 게이지 변환을 갖는다.

${\displaystyle \delta _{X}h_{\mu \nu }=\partial _{\mu }X_{\nu }+\partial _{\nu }X_{\mu }}$

게이지 변환을 사용하여, ${\displaystyle D(D+1)/2}$개의 성분 가운데 ${\displaystyle 2D}$개를 없앨 수 있으며, 남은 ${\displaystyle D(D-3)/2}$개의 성분들은 스핀이 2인 자유 무질량 입자를 나타낸다. 이는 4차원에서 총 2개의 질량 껍질 위 자유도에 해당한다. (만약 게이지 대칭을 가하지 않으면, 이는 4차원에서 일반적으로 5개의 질량 껍질 위 자유도에 해당하며, 이는 1개의 스핀 2의 입자와 1개의 스핀 1의 입자와 1개의 스핀 0 입자에 해당한다.)

이 작용은 두 가지로 유도할 수 있다.

${\displaystyle D}$차원 일반 상대성이론에서, 리만 계량을 다음과 같이 전개하자.

${\displaystyle {\hat {g}}^{\mu \nu }=\eta ^{\mu \nu }-\kappa ^{-1}h_{\mu \nu }}$

${\displaystyle {\hat {g}}_{\mu \nu }{\hat {g}}^{\nu \rho }=\delta _{\mu }^{\rho }}$

${\displaystyle g_{\mu \nu }={\sqrt {|\det {\hat {g}}|}}{\hat {g}}_{\mu \nu }}$

그렇다면, 아인슈타인-힐베르트 작용을 다음과 같이 전개할 수 있다.

${\displaystyle S_{\text{EH}}=\int \mathrm {d} ^{D}x\,{\sqrt {|\det g|}}R=\int \mathrm {d} ^{D}x{\mathcal {L}}_{\text{PF}}+{\mathcal {O}}(h^{4})}$

즉, 전개에서 최소차 항만을 남기면 피에르츠-파울리 이론을 얻는다.

일반적으로, 대칭 2차 텐서장 ${\displaystyle h}$의 로런츠 대칭 불변 작용은 다음과 같은 네 개의 항을 가질 수 있다

${\displaystyle {\mathcal {L}}\ni \partial _{\mu }h_{\nu \rho }\partial ^{\mu }h^{\nu \rho },\;\partial _{\mu }h_{\nu \rho }\partial ^{\nu }h^{\mu \rho },\;(\partial _{\mu }\operatorname {tr} h)\partial ^{n}uh^{\mu \nu },\;(\partial _{\mu }\operatorname {tr} h)(\partial ^{\mu }\operatorname {tr} h)}$

물론, 그 계수들은 일반적으로 임의적이다. 그러나 여기서 운동 방정식

${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {L}}}{\delta h^{\mu \nu }}}=H^{\mu \nu }}$

으로부터 비앙키 항등식

${\displaystyle \partial _{\mu }H^{\mu \nu }=0}$

이 운동 방정식을 사용하지 않고 성립하려면, 이 계수 사이의 비들을 계산할 수 있다. (물론, 작용 전체에 상수를 곱해도 상관이 없다.) 이를 계산하면, 피에르츠-파울리 작용을 얻는다.

마르쿠스 에두아르트 피에르츠(독일어: Markus Eduard Fierz, IPA: [ˈmaʁkʊs ˈeːduaʁt ˈfiːɐ̯t͡s])와 볼프강 파울리가 1939년에 도입하였다.^[2]

• 대응원리
• 중력 자성

• Janssen, Bert (2006년 12월 14일). “From Fierz–Pauli to Einstein–Hilbert. Gravity as a special relativistic field theory” (PDF) (영어).