피타고라스 정리

기하학에서 피타고라스 정리(문화어: 세 평방의 정리, 영어: Pythagorean theorem, Pythagoras' theorem)는 직각 삼각형의 빗변을 변으로 하는 정사각형의 넓이는 두 직각변을 각각 한 변으로 하는 정사각형 넓이의 합과 같다는 정리이다. 또한, 피타고라스 정리는 유클리드 기하학에서 직각삼각형을 이루는 세 변의 길이의 비에 대한 기본적인 관계이다. 이 정리는 피타고라스 방정식이라고 불리는 다리 a, b와 빗변 c의 길이에 관련된 방정식으로 쓰여질 수 있다.^[1]

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

이 정리는 기원전 570년경에 태어난 그리스 철학자 피타고라스의 이름을 따서 붙여졌다. 고전 고대에 그에게서 기인되었음에도 불구하고, 그 정리의 양상이 초기 문화에 알려졌다는 증거가 있어 현대의 학계에서는 피타고라스 자신이 그것을 알고 있었는지에 대해서도 의문을 제기해왔다. 그 정리는 많은 다른 방법들에 의해 수없이 증명되었다. 증명은 기하학적 증명과 대수적 증명 모두를 포함하여 다양하며, 일부는 수천 년 전으로 거슬러 올라간다.

이 정리는 차원, 유클리드 공간이 아닌 공간, 직각 삼각형이 아닌 객체, 그리고 전혀 삼각형이 아닌 n차원 입체 객체 등 다양한 방법으로 일반화할 수 있다. 피타고라스의 정리는 수학적 난해함, 신비성, 또는 지적 힘의 상징으로서 문학, 연극, 뮤지컬, 노래, 우표, 그리고 만화 등 수학 외의 관심을 끌었다.

직각 삼각형의 두 직각변 ${\displaystyle a,b}$를 각각 한 변으로 하는 정사각형 면적의 합은 빗변 ${\displaystyle c}$를 한 변으로 하는 정사각형의 면적과 같다.

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

즉, ${\displaystyle c}$의 제곱은 ${\displaystyle a}$와 ${\displaystyle b}$의 제곱의 합이다. 다시 말해, ${\displaystyle c}$를 변으로 하는 정사각형의 넓이는 ${\displaystyle a}$를 변으로 하는 정사각형의 넓이와 ${\displaystyle b}$를 변으로 하는 정사각형의 넓이의 합이다.

피타고라스 정리는 직각 삼각형의 직각변 ${\displaystyle a,b}$와 빗변 ${\displaystyle c}$ 가운데 둘을 알 때 남은 하나를 구하는 형식으로 쓸 수 있다.

직각 삼각형에서 직각변(밑변과 높이)의 길이만 알고 빗변은 알고 있지 않다면 빗변의 길이는 다음 방정식으로 계산할 수 있다.

${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

빗변과 한쪽 직각변의 길이가 알려진 경우, 다른 쪽 변의 길이는 다음과 같이 계산될 수 있다.

${\displaystyle a={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}}$

또는

${\displaystyle b={\sqrt {c^{2}-a^{2}}}}$

여기서 ${\displaystyle x}$가 음이 아닌 실수일 때, ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$는 ${\displaystyle x}$의 음이 아닌 제곱근을 나타낸다.

이 정리의 일반화는 코사인 법칙으로, 다른 두 변의 길이와 그들 사이의 각도를 고려할 때, 삼각형의 어느 변의 길이를 계산할 수 있다. 다른 변 사이의 각도가 직각이라면 코사인 법칙은 피타고라스 방정식으로 감소한다.

 이 부분의 본문은 피타고라스 삼조입니다.

피타고라스 정리의 관계를 만족시키는 세 양의 정수의 쌍을 피타고라스 삼조라고 한다. 예를 들어, ${\displaystyle (3,4,5)}$는 피타고라스 수이다.

피타고라스 정리를 증명하는 방법은 여러 가지가 있다.

유클리드는 원론에서 피타고라스 정리를 다음과 같이 증명하였다.

그림에서, ${\displaystyle ABDE}$와 ${\displaystyle ACFG}$, ${\displaystyle BCHJ}$는 모두 정사각형이다. ${\displaystyle C}$를 지나는 ${\displaystyle AB}$의 수선은 정사각형 ${\displaystyle ABDE}$를 직사각형 ${\displaystyle AELM}$과 ${\displaystyle BDLM}$으로 나눈다.

삼각형의 넓이는 '1/2 × 밑변 × 높이'이므로, 삼각형 ${\displaystyle ABG}$의 넓이는 정사각형 ${\displaystyle ACFG}$의 넓이의 절반이다. 마찬가지로, 삼각형 ${\displaystyle AEC}$의 넓이는 직사각형 ${\displaystyle AELM}$의 빨간색 부분의 넓이의 절반이다.

삼각형 ${\displaystyle ABG}$를 ${\displaystyle A}$를 중심으로 시계 방향으로 90도 회전하면 삼각형 ${\displaystyle AEC}$를 얻으므로, SAS에 따라 삼각형 ${\displaystyle ABG}$와 ${\displaystyle AEC}$는 합동이다. 서로 합동인 삼각형의 넓이는 같으므로, 삼각형 ${\displaystyle ABG}$와 ${\displaystyle AEC}$의 넓이는 같다.

따라서, 정사각형 ${\displaystyle ACFG}$의 넓이는 직사각형 ${\displaystyle AELM}$의 넓이와 같다. 마찬가지로, 정사각형 ${\displaystyle BCHJ}$의 넓이는 직사각형 ${\displaystyle BDLM}$의 넓이와 같다. 따라서, 정사각형 ${\displaystyle ACFG}$와 ${\displaystyle BCHJ}$의 넓이의 합은 정사각형 ${\displaystyle ABDE}$의 넓이와 같다.

피타고라스 정리는 삼각형의 닮음을 사용하여 다음과 같이 증명할 수 있다.

그림에서, ${\displaystyle CH}$는 ${\displaystyle C}$를 지나는 빗변 ${\displaystyle AB}$의 수선이다.

삼각형 ${\displaystyle ACH}$와 ${\displaystyle ABC}$는 각 ${\displaystyle A}$를 공유하는 직각 삼각형이므로, AA에 따라 서로 닮음이다. 마찬가지로, 삼각형 ${\displaystyle CBH}$와 ${\displaystyle ABC}$는 서로 닮음이다. 따라서, 대응변에 대한 비례식이 다음과 같이 성립한다.

${\displaystyle {\frac {AC}{AH}}={\frac {AB}{AC}}}$

${\displaystyle {\frac {BC}{BH}}={\frac {AB}{BC}}}$

즉, 다음이 성립한다.

${\displaystyle AC^{2}=AB\cdot AH}$

${\displaystyle BC^{2}=AB\cdot BH}$

이 두 식을 합하면 피타고라스 정리를 얻는다.

${\displaystyle AC^{2}+BC^{2}=AB\cdot AH+AB\cdot BH=AB\cdot (AH+BH)=AB^{2}}$

피타고라스 정리는 대수학의 방법을 사용하여 다음과 같이 증명할 수 있다.

그림과 같이, 직각변이 ${\displaystyle a,b}$, 빗변이 ${\displaystyle c}$인 4개의 직각 삼각형을 적절히 배열하여 큰 정사각형을 만들 수 있다.

이 큰 정사각형은 ${\displaystyle (a+b)}$를 변으로 하므로 그 넓이는 ${\displaystyle (a+b)^{2}}$이다. 또한, 이는 ${\displaystyle c}$를 변으로 하는 작은 정사각형의 넓이 ${\displaystyle c^{2}}$와 직각 삼각형의 넓이 ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}ab}$의 4배의 합과 같다.

${\displaystyle (a+b)^{2}=c^{2}+4\cdot {\frac {1}{2}}ab=c^{2}+2ab}$

이를 정리하면 피타고라스 정리를 얻는다.

${\displaystyle c^{2}=(a+b)^{2}-2ab=a^{2}+2ab+b^{2}-2ab=a^{2}+b^{2}}$

미국의 20대 대통령 제임스 가필드는 다음과 같은 방법으로 피타고라스 정리를 증명했다.^[2]

두 평행한 변의 길이가 각각 ${\displaystyle a,b}$이고 이 두 변과 수직인 변의 길이가 ${\displaystyle a+b}$인 사다리꼴의 넓이는 다음 공식을 따른다.

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}(a+b)^{2}={\frac {1}{2}}(a^{2}+2ab+b^{2})}$

그림에서 삼각형 1, 2의 면적은 각각 ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ab}$이고, 두 삼각형의 면적의 합은 ${\displaystyle ab}$이다.

삼각형 3의 면적은 ${\displaystyle A-ab={\frac {1}{2}}(a^{2}+b^{2})={\frac {1}{2}}c^{2}}$이므로

이를 정리하면 피타고라스 정리를 얻는다.

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

피타고라스 정리의 역 또한 성립한다. 즉, 만약 삼각형의 세 변 ${\displaystyle a,b,c}$가 ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$를 만족시킨다면, 이 삼각형은 반드시 ${\displaystyle c}$를 빗변으로 하는 직각 삼각형이다.

피타고라스 정리의 역은 다음과 같이 증명할 수 있다.

삼각형 ${\displaystyle ABC}$에서, ${\displaystyle A,B,C}$의 대변 ${\displaystyle a,b,c}$가 ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$를 만족시킨다고 하자.

임의의 점 ${\displaystyle C'}$을 취하자. ${\displaystyle C'}$를 꼭짓점으로 하는 직각을 그리자. 직각의 두 변에서 각각 적절한 ${\displaystyle A',B'}$를 취하여, ${\displaystyle A'C'=AC=b}$이며, ${\displaystyle B'C'=BC=a}$이도록 만들자.

그렇다면, ${\displaystyle A'B'C'}$는 ${\displaystyle a,b}$를 직각변으로 하는 직각 삼각형이다. 피타고라스 정리에 따라 그 빗변은 ${\displaystyle c}$이다. SSS에 따라 삼각형 ${\displaystyle ABC}$와 ${\displaystyle A'B'C'}$는 서로 합동이다. 따라서 각 ${\displaystyle C}$는 각 ${\displaystyle C'}$와 같이 직각이다. 즉, ${\displaystyle ABC}$는 ${\displaystyle c}$를 빗변으로 하는 직각 삼각형이다.

 이 부분의 본문은 코사인 법칙입니다.

임의의 삼각형의 세 변 ${\displaystyle a,b,c}$ 사이에 다음과 같은 관계가 성립하며, 이를 코사인 법칙이라고 한다.

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C}$

여기서

• ${\displaystyle C}$는 ${\displaystyle c}$의 대각이다.
• ${\displaystyle \cos }$는 코사인이다.

코사인 법칙에 ${\displaystyle \textstyle C={\frac {\pi }{2}}=90^{\circ }}$를 취하면 피타고라스 정리를 얻는다.

직교 좌표계의 두 점 ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\in \mathbb {R} ^{2}}$ 사이의 거리는 다음과 같다.

${\displaystyle {\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}}$

보다 일반적으로, ${\displaystyle n}$차원 유클리드 공간 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$의 두 점 ${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n}),(b_{1},\dots ,b_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$ 사이의 거리는 다음과 같다.

${\displaystyle {\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+\cdots +(a_{n}-b_{n})^{2}}}}$

내적 공간 ${\displaystyle (V,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$의 두 벡터 ${\displaystyle v,w\in V}$가 직교한다고 하자. (즉, ${\displaystyle \langle v,w\rangle =0}$이라고 하자.) 그렇다면, 이 두 원소의 노름과 둘의 합의 노름 사이에 다음과 같은 관계가 성립하며, 이를 노름 공간 위의 피타고라스 정리라고 한다.

${\displaystyle \Vert v+w\Vert ^{2}=\Vert v\Vert ^{2}+\Vert w\Vert ^{2}}$

보다 일반적으로, ${\displaystyle n}$개의 벡터 ${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}\in V}$가 쌍마다 직교한다고 하자. (즉, ${\displaystyle \langle v_{i},v_{j}\rangle }$가 대각 행렬을 이룬다고 하자.) 그렇다면, 이들의 노름과 합의 노름 사이에 다음과 같은 관계가 성립한다.

${\displaystyle \Vert v_{1}+\cdots +v_{n}\Vert ^{2}=\Vert v_{1}\Vert ^{2}+\cdots +\Vert v_{n}\Vert ^{2}}$

바빌론인은 많은 쌍의 피타고라스 삼조를 알고 있었다.

검증되지 않은 일화에 따르면, 이집트인은 밧줄을 ${\displaystyle 3:4:5}$비율로 매듭내어 직각삼각형을 만들었다.^[3]

피타고라스 학파는 피타고라스 삼조를 구하는 방법을 고안하였다. 즉, 홀수 ${\displaystyle m}$에 대하여, ${\displaystyle \textstyle (m,{\frac {m^{2}-1}{2}},{\frac {m^{2}+1}{2}})}$는 피타고라스 삼조이다. 또한, 피타고라스 학파의 히파소스는 이 과정에서 통약 불가능 비율을 발견하였다고 여겨진다.

에우클레이데스는 원론에서 피타고라스 정리를 서술 및 증명하였으며, 이는 발견된 최초의 증명이다.

인도인 역시 피타고라스 정리를 "직사각형의 대각선의 제곱은 두 이웃변의 제곱합과 같다"는 내용으로서 알고 있었다.^[3] 이는 적절한 모양의 제단을 만드는 데 응용되었다.^[4]

유휘는 《구장산술주》에서 원주율을 계산하는 데 피타고라스 정리를 사용하였다.

피타고라스 학파가 피타고라스 정리를 발견 및 증명하였는지는 확실하지 않다. 프로클로는 원론의 주해를 쓸 때, 정리의 발견과 최초 증명에 대한 공로를 피타고라스에게 돌렸다. 이에 대하여, 모리스 클라인은 다음과 같이 적었다.

만약, ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$라면, 그 삼각형은 ${\displaystyle \angle C}$가 직각인 직각삼각형이다.

만약, ${\displaystyle a^{2}+b^{2}<c^{2}}$라면, 그 삼각형은 ${\displaystyle \angle C}$가 둔각인 둔각삼각형이다.

만약, ${\displaystyle a^{2}+b^{2}>c^{2}}$라면, 그 삼각형은 ${\displaystyle \angle C}$가 예각인 예각삼각형이다.

여기서, ${\displaystyle c}$는 빗변, ${\displaystyle a,b}$는 직각을 낀 빗변이 아닌 나머지 두 변이고, 삼각형이 될 필요충분조건인 ${\displaystyle a+b>c}$를 만족한다.(여기서, ${\displaystyle \angle C}$는 변 ${\displaystyle c}$의 대각을 뜻한다.)

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• 페르마의 마지막 정리
• 피타고라스
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• Bogomolny, Alexander. “Pythagorean Theorem”. 《Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles》 (영어). 2018년 11월 10일에 확인함.  (피타고라스 정리의 118여가지 증명법)
• 이철희. “피타고라스 정리”. 《수학노트》. 
• “Pythagorean theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Pythagorean theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Pythagorean theorem”. 《nLab》 (영어). 
• “Pythagorean theorem”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Proof of Pythagorean theorem”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Pythagoras's theorem”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Pythagorean theorem (Hilbert space)”. 《ProofWiki》 (영어).