하이젠베르크 스핀 사슬

물리학에서 하이젠베르크 스핀 사슬(영어: Heisenberg spin chain)은 1차원 자석의 간단한 양자 역학 모형이다. 양자 적분 가능 모형의 일종이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

자연수 $L\in \mathbb {N}$ . 이는 스핀 사슬의 길이이다.
$\operatorname {SU} (2)$ 의 복소수 표현 $V=\mathbb {C} ^{2s+1}$ , ${\vec {\sigma }}_{ab}$ , $a,b\in \{1,2,\dotsc ,2s+1\}$ . 이는 스핀 $s\in \{0,1/2,1,3/2,2,\dotsc \}$ 에 의하여 유일하게 결정되며, 스핀 $s$ 에 대응되는 표현은 $2s+1$ 복소수 차원 표현이다.
3×3 실수 대칭 행렬 $J_{ij}\in \operatorname {Mat} (3;\mathbb {R} )$ .

그렇다면, 이 데이터에 의하여 주어지는 하이젠베르크 스핀 사슬의 힐베르트 공간은 텐서곱

{\mathcal {H}}=V^{\otimes L}

이다. 각 $i\in \{1,\dotsc ,L\}$ 에 대하여, 그 스핀에 대응하는 힐베르트 공간 $V_{i}$ 및 그 위에만 작용하는 $\operatorname {SU} (2)$ 표현 ${\vec {\sigma }}_{i}$ 를 정의할 수 있다.

$s=1/2$ 일 경우, 그 위의 해밀토니언 연산자는 다음과 같다.

H_{1/2}={\frac {1}{\hbar }}\sum _{i=1}^{L}J({\vec {\sigma }}_{i},{\vec {\sigma }}_{i+1})

여기서 $i\in \{1,2,\dotsc ,L\}$ 은 법 $L$ 로 취급된다. 즉, $L\equiv 0{\pmod {L}}$ 이다.

특히, 다음과 같은 용어가 사용된다.

만약 $J$ $J$ 의 세 고윳값 $(J_{1},J_{2},J_{3})$ $(J_{1},J_{2},J_{3})$ 이 모두 같다면 (즉, $J$ $J$ 가 $\operatorname {O} (3)$ $\operatorname {O} (3)$ 불변이라면), 이를 하이젠베르크 XXX 스핀 사슬(영어: Heisenberg XXX spin chain)이라고 한다.
- 이 경우, 만약 $J_{1}=J_{2}=J_{3}>0$ 이 양수라면 이는 강자성 XXX 스핀 사슬(強磁性XXX spin사슬, 영어: ferromagnetic XXX spin chain)이라고 한다.
- 이 경우, 만약 $J_{1}=J_{2}=J_{3}<0$ 이 음수라면 이는 반강자성 XXX 스핀 사슬(反強磁性XXX spin사슬, 영어: antiferromagnetic XXX spin chain)이라고 한다.
만약 $J$ 의 세 고윳값 $(J_{1},J_{2},J_{3})$ 가운데 두 개가 같다면 (즉, $J$ 가 $\operatorname {O} (2)$ 불변이라면), 이를 하이젠베르크 XXZ 스핀 사슬(영어: Heisenberg XXZ spin chain)이라고 한다.
만약 $J$ 의 세 고윳값 $(J_{1},J_{2},J_{3})$ 이 모두 서로 다르다면 (즉, $J$ 의 안정자군이 자명군이라면), 이를 하이젠베르크 XYZ 스핀 사슬(영어: Heisenberg XYZ spin chain)이라고 한다.

또한, 사용되는 스핀 $s$ 를 첨자로 표기한다. 예를 들어, “XXX_½ 스핀 사슬”은 $J_{1}=J_{2}=J_{3}$ 이며, $s=1/2$ 인 하이젠베르크 스핀 사슬을 뜻한다.

하이젠베르크 XXX_½ 스핀 사슬의 해밀토니언 연산자는 $z$ 방향 총 스핀 연산자

S_{z}=\sum _{i=1}^{L}\sigma _{i}^{z}

와 가환하며, 이를 마그논 수로 해석할 수 있다.

하이젠베르크 XXX_s 스핀 사슬의 $N$ -마그논 베테 방정식은 다음과 같다.

\prod _{m\in \{1,\dotsc ,N\}\setminus \{n\}}{\frac {\lambda _{n}-\lambda _{m}+\mathrm {i} }{\lambda _{n}-\lambda _{m}-\mathrm {i} }}=\left({\frac {\lambda _{n}+\mathrm {i} s}{\lambda _{n}-\mathrm {i} s}}\right)^{L}\qquad \forall n\in \{1,\dotsc ,N\}

베르너 하이젠베르크가 1928년에 도입하였다.^[1] 곧 1931년에 한스 베테가 XXX 스핀 사슬을 베테 가설 풀이(영어: Bethe ansatz)를 도입하여 풀었다.^[2]

↑ Heisenberg, Werner (1928년 9월). “Zur Theorie des Ferromagnetismus”. 《Zeitschrift für Physik》 (독일어) 49 (9–10): 619–636. doi:10.1007/BF01328601. ISSN 0044-3328.
↑ Bethe, Hans (1931년 3월). “Zur Theorie der Metalle”. 《Zeitschrift für Physik》 (독일어) 71 (3–4): 205–226. doi:10.1007/BF01341708. ISSN 0044-3328.