호프 올뭉치

위상수학에서 호프 올뭉치(영어: Hopf fibration)는 구가 다른 차원의 구 위의 올다발을 이루는 현상이다. 가장 대표적인 경우는 3차원 구가 2차원 구 위에 다발을 이루는 경우며, 유사하게 7차원 구가 4차원 구 위에, 15차원 구가 8차원 구 위에 올다발을 이룬다.

노름을 가진 나눗셈 대수 ${\displaystyle X}$와 그 차원 ${\displaystyle n:=\dim X}$가 주어졌다고 하자. 다시 말해, ${\displaystyle X}$는 실수 · 복소수 · 사원수 · 팔원수 대수 가운데 하나이고 각각의 경우 ${\displaystyle n=1,2,4,8}$이다. 그러면 다음과 같이 ${\displaystyle X}$의 원소 두 개의 순서쌍으로 초구 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2n-1}}$를 만들고 동치관계 ${\displaystyle \sim }$을 정의할 수 있다.

${\displaystyle \mathbb {S} ^{2n-1}=\{(x_{1},x_{2})|1=|x_{1}|^{2}+|x_{2}|^{2};x_{1},x_{2}\in X\}\subset X^{2}}$

${\displaystyle (x_{1},x_{2})\sim (\lambda x_{1},\lambda x_{2})}$ (${\displaystyle \lambda \in X}$, ${\displaystyle |\lambda |=1}$)

이 때,

${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}\cong \mathbb {S} ^{2n-1}/{\sim }}$

을 얻는다. 즉, ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2n-1}}$은 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$ 위에 올다발을 이루며, 그 올은 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}}$인 것을 알 수 있다. 이를 호프 올뭉치라고 한다. 이에 따라, 다음과 같은 호프 올뭉치들을 얻는다.

${\displaystyle \mathbb {S} ^{0}\hookrightarrow \mathbb {S} ^{1}\twoheadrightarrow \mathbb {S} ^{1}}$ (실수)

${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\hookrightarrow \mathbb {S} ^{3}\twoheadrightarrow \mathbb {S} ^{2}}$ (복소수)

${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}\hookrightarrow \mathbb {S} ^{7}\twoheadrightarrow \mathbb {S} ^{4}}$ (사원수)

${\displaystyle \mathbb {S} ^{7}\hookrightarrow \mathbb {S} ^{15}\twoheadrightarrow \mathbb {S} ^{8}}$ (팔원수)

보다 일반적으로, 결합 나눗셈 대수 ${\displaystyle \mathbb {K} }$ (${\displaystyle \dim K=k}$)에 대하여, ${\displaystyle \mathbb {K} }$-사영 공간에 대한 주다발

${\displaystyle \mathbb {S} ^{k-1}\hookrightarrow \mathbb {S} ^{k(n+1)-1}\twoheadrightarrow \mathbb {KP} ^{n}}$

을 정의할 수 있다. 이는 각각 다음과 같다.

• 실수: ${\displaystyle \mathbb {S} ^{0}\hookrightarrow \mathbb {S} ^{n}\twoheadrightarrow \mathbb {RP} ^{n}}$. 이는 2차 순환군 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{0}=\operatorname {Cyc} (2)}$에 대한 주다발이다.
• 복소수: ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\hookrightarrow \mathbb {S} ^{2n+1}\twoheadrightarrow \mathbb {CP} ^{n}}$. 이는 원군 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}=\operatorname {U} (1)}$에 대한 주다발이다.
• 사원수: ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}\hookrightarrow \mathbb {S} ^{2n+3}\twoheadrightarrow \mathbb {HP} ^{n}}$. 이는 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}=}$SU(2)에 대한 주다발이다.

마찬가지로, 두 나눗셈 대수의 포함 관계 ${\displaystyle \mathbb {K} \subsetneq \mathbb {L} }$에 대하여, ${\displaystyle \dim \mathbb {L} /\dim \mathbb {K} =p}$, ${\displaystyle \dim \mathbb {L} =l}$일 때, 올다발

${\displaystyle \mathbb {KP} ^{p-1}\hookrightarrow \mathbb {KP} ^{p(n+1)-1}\twoheadrightarrow \mathbb {LP} ^{n}}$

을 정의할 수 있다.

• 실수 ⊂ 복소수: ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}=\mathbb {RP} ^{1}\hookrightarrow \mathbb {RP} ^{2n+1}\twoheadrightarrow \mathbb {CP} ^{n}}$. 이는 원군에 대한 주다발이다.
• 복소수 ⊂ 사원수: ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}=\mathbb {CP} ^{1}\hookrightarrow \mathbb {CP} ^{2n+1}\twoheadrightarrow \mathbb {HP} ^{n}}$. ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$에는 리 군 구조가 존재하지 않으므로, 이는 주다발이 아닌 올다발이다.
  • 특히, ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\hookrightarrow \mathbb {CP} ^{3}\twoheadrightarrow \mathbb {S} ^{4}=\mathbb {HP} ^{1}}$는 콤팩트화 4차원 시공간과 트위스터 공간 사이의 관계이다.
• 실수 ⊂ 사원수: ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{3}\hookrightarrow \mathbb {RP} ^{4n+3}\twoheadrightarrow \mathbb {HP} ^{n}}$. 이는 ${\displaystyle \operatorname {RP} ^{3}=\operatorname {SO} (3)}$에 대한 주다발이다.

반면, 이는 팔원수의 부분 나눗셈 대수에 대해서는 정의할 수 없다.^[1]

1931년 하인츠 호프가 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\hookrightarrow \mathbb {S} ^{3}\twoheadrightarrow \mathbb {S} ^{2}}$을 발견하였다.^[2] 그는 1935년에 다른 차원일 때의 경우를 발표했다.^[3]

물리학, 특히 양자역학에 등장한다.^[4] 자기 홀극의 전자기 퍼텐셜은 호프 올뭉치를 이룬다.^[5]

• Lyons, David W. (2003년 4월). “An elementary introduction to the Hopf fibration” (PDF). 《Mathematics Magazine》 (영어) 76 (2): 87–98. doi:10.2307/3219300. ISSN 0025-570X. JSTOR 3219300. 
• Treisman, Zachary (2009년 8월). “A young person’s guide to the Hopf fibration” (영어). arXiv:0908.1205. Bibcode:2009arXiv0908.1205T. 
• Steenrod, Norman (1951). 《The Topology of Fibre Bundles》 (영어). Princeton Mathematical Series 14. Princeton: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-00548-5. MR 0039258. Zbl 0942.55002. 
• Cederwall, Martin (1993년 10월). “Introduction to division algebras, sphere algebras and twistors” (영어). arXiv:hep-th/9310115. Bibcode:1993hep.th...10115C.