힐베르트 기호

유체론에서 힐베르트 기호(영어: Hilbert symbol)는 국소체의 0이 아닌 원소에 대하여 정의된 르장드르 기호의 일반화이다. 이를 사용하여, 이차 상호 법칙을 모든 위치에 대칭적인 형태로 적을 수 있는데, 이를 힐베르트 상호 법칙(영어: Hilbert reciprocity law)이라고 한다.

${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \{\infty ,2,3,5,7,\dots \}}$가 유리수체의 자리라고 하자. 즉,

${\displaystyle \mathbb {Q} _{\mathfrak {p}}={\begin{cases}\mathbb {R} &{\mathfrak {p}}=\infty \\\mathbb {Q} _{p}&p={\mathfrak {p}}<\infty \end{cases}}}$

는 실수체 또는 p진수체이다. 체 ${\displaystyle K}$의 가역원군을 ${\displaystyle K^{\times }=K\setminus \{0\}}$라고 하자. 그렇다면, 유리수체의 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$에서의 힐베르트 기호는 다음과 같은 함수이다.

${\displaystyle \left({\frac {-,-}{\mathfrak {p}}}\right)\colon \mathbb {Q} _{\mathfrak {p}}^{\times }\times \mathbb {Q} _{\mathfrak {p}}^{\times }\to \{-1,+1\}}$

${\displaystyle \left({\frac {a,b}{\mathfrak {p}}}\right)={\begin{cases}1&\exists (x,y,z)\in \mathbb {Q} _{\mathfrak {p}}^{3}\colon z^{2}=ax^{2}+by^{2}\\-1&\nexists (x,y,z)\in \mathbb {Q} _{\mathfrak {p}}^{3}\colon z^{2}=ax^{2}+by^{2}\end{cases}}}$

위의 힐베르트 기호는 유리수체의 자리에 대한 것이며, 이를 임의의 대수적 수체에 대하여 일반화할 수 있다.

대수적 수체 ${\displaystyle K}$의 자리 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$에 대하여, 다음과 같은 함수를 힐베르트 기호라고 한다.^{[1]:201, §II.7.3.1[2]:333, Proposition V.3.1}

${\displaystyle \left({\frac {-,-}{\mathfrak {p}}}\right)\colon K_{\mathfrak {p}}^{\times }\times K_{\mathfrak {p}}^{\times }\to \mu (K^{\times })}$

${\displaystyle \left({\frac {a,b}{\mathfrak {p}}}\right)={\frac {({\frac {K_{\mathfrak {p}}({\sqrt[{m}]{a}})/K_{\mathfrak {p}}}{b}}){\sqrt[{m}]{a}}}{\sqrt[{m}]{a}}}}$

여기서

• ${\displaystyle K_{\mathfrak {p}}}$는 자리 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$에서의 국소체이다.
• ${\displaystyle \mu (K^{\times })\subseteq K}$는 ${\displaystyle K}$에 포함된 1의 거듭제곱근들로 구성된 아벨 군이다.
• ${\displaystyle m=|\mu (K)|}$는 ${\displaystyle K}$에 포함된 1의 거듭제곱근의 수이다.
• ${\displaystyle ({\tfrac {K_{\mathfrak {p}}({\sqrt[{m}]{a}})/K_{\mathfrak {p}}}{b}})\in \operatorname {Gal} (K_{\mathfrak {p}}({\sqrt[{m}]{a}})/K_{\mathfrak {p}})}$는 원분 확대 ${\displaystyle K_{\mathfrak {p}}({\sqrt[{m}]{a}})/K_{\mathfrak {p}}}$에 대한 국소 아르틴 기호이다. 이는 갈루아 군의 원소이므로 원분 확대체의 원소 ${\displaystyle {\sqrt[{m}]{a}}\in K_{\mathfrak {p}}({\sqrt[{m}]{a}})}$ 위에 작용한다.

사실, 힐베르트 기호는 ${\displaystyle m}$제곱 잉여류에만 의존한다. 즉, 이는 다음과 같은 함수를 정의한다.

${\displaystyle \left({\frac {-,-}{\mathfrak {p}}}\right)\colon {\frac {K_{\mathfrak {p}}^{\times }}{(K_{\mathfrak {p}}^{\times })^{m}}}\times {\frac {K_{\mathfrak {p}}^{\times }}{(K_{\mathfrak {p}}^{\times })^{m}}}\to \mu (K^{\times })}$

만약 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$가 복소수 자리라면 (${\displaystyle K_{\mathfrak {p}}\cong \mathbb {C} }$), ${\displaystyle K_{\mathfrak {p}}({\sqrt[{m}]{a}})/K_{\mathfrak {p}}\cong \mathbb {C} /\mathbb {C} }$는 자명한 확대이므로, 그 갈루아 군 ${\displaystyle \operatorname {Gal} (K_{\mathfrak {p}}({\sqrt[{m}]{a}})/K_{\mathfrak {p}})=1}$은 자명군이며, 따라서 ${\displaystyle ({\tfrac {a,b}{\mathfrak {p}}})=1\;\forall a,b\in K_{\mathfrak {p}}\cong \mathbb {C} }$이다.

임의의 대수적 수체 ${\displaystyle K}$의 자리 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$에 대하여, 힐베르트 기호는 다음 성질들을 만족시킨다.^{[1]:195, Proposition II.7.1.1[2]:334, Proposition V.3.2}

${\displaystyle (a,1-a)_{\mathfrak {p}}=1\qquad \forall a\in K_{\mathfrak {p}}\setminus \{0,1\}}$

${\displaystyle (a,-a)_{\mathfrak {p}}=1\qquad \forall a\in K_{\mathfrak {p}}^{\times }}$

${\displaystyle (a,b)_{\mathfrak {p}}=(b,a)_{\mathfrak {p}}^{-1}\qquad \forall a,b\in K_{\mathfrak {p}}^{\times }}$

${\displaystyle (a,bc)_{\mathfrak {p}}=(a,b)_{\mathfrak {p}}(a,c)_{\mathfrak {p}}\qquad \forall a,b,c\in K_{\mathfrak {p}}^{\times }}$

${\displaystyle (ab,c)_{\mathfrak {p}}=(a,c)_{\mathfrak {p}}(b,c)_{\mathfrak {p}}\qquad \forall a,b,c\in K_{\mathfrak {p}}^{\times }}$

실수체에서는

${\displaystyle \left({\frac {a,b}{\infty }}\right)={\begin{cases}+1&\max {a,b}>0\\-1&\max {a,b}<0\end{cases}}}$

이다.

2진수체에서, ${\displaystyle a}$와 ${\displaystyle b}$가 정수이고

${\displaystyle a=2^{\alpha }u}$

${\displaystyle b=2^{\beta }v}$

${\displaystyle 2\nmid u,v}$

라면,

${\displaystyle \left({\frac {a,b}{2}}\right)=(-1)^{(u-1)(v-1)/4+\alpha (v^{2}-1)/8+\beta (u^{2}-1)/8}}$

이다.

홀수 소수 ${\displaystyle p}$에 대한 ${\displaystyle p}$진수체에서, ${\displaystyle a}$와 ${\displaystyle b}$가 정수이고

${\displaystyle a=p^{\alpha }u}$

${\displaystyle b=p^{\beta }v}$

${\displaystyle p\nmid u,v}$

라면,

${\displaystyle \left({\frac {a,b}{p}}\right)=(-1)^{\alpha \beta (p-1)/2}\left({\frac {u}{p}}\right)^{\beta }\left({\frac {v}{p}}\right)^{\alpha }}$

이다. 여기서 ${\displaystyle \textstyle ({\frac {a}{b}})}$는 르장드르 기호이다.

힐베르트 상호 법칙(Hilbert相互法則, 영어: Hilbert reciprocity law)에 따르면, 임의의 대수적 수체 ${\displaystyle K}$의 두 원소 ${\displaystyle a,b\in K}$에 대하여, ${\displaystyle ({\tfrac {a,b}{\mathfrak {p}}})\neq 1}$인 자리 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$의 수는 유한하며, 또한

${\displaystyle \prod _{\mathfrak {p}}\left({\frac {a,b}{\mathfrak {p}}}\right)=1}$

이다.^{[1]:201, §I.7.3.1[2]:414, Theorem VI.8.1} 여기서 ${\displaystyle \textstyle \prod _{\mathfrak {p}}}$는 모든 자리에 대한 곱이다.

힐베르트 상호 법칙은 이차 상호 법칙을 일반화한다. 만약 ${\displaystyle a}$와 ${\displaystyle b}$가 서로 다른 양의 홀수 소수라면, 유리수체의 국소 힐베르트 기호들을 계산하면 다음과 같다.

${\displaystyle \left({\frac {a,b}{\infty }}\right)=1}$

${\displaystyle \left({\frac {a,b}{2}}\right)=(-1)^{(a-1)(b-1)/4}}$

${\displaystyle \left({\frac {a,b}{p}}\right)=1\qquad (a\neq p\neq b)}$

${\displaystyle \left({\frac {a,b}{a}}\right)=\left({\frac {b}{a}}\right)}$

${\displaystyle \left({\frac {a,b}{b}}\right)=\left({\frac {a}{b}}\right)}$

따라서

${\displaystyle \prod _{\mathfrak {p}}\left({\frac {a,b}{\mathfrak {p}}}\right)=(-1)^{(a-1)(b-1)/4}\left({\frac {a}{b}}\right)\left({\frac {b}{a}}\right)=1}$

이다.

다비트 힐베르트가 1897년에 도입하였다.^[3]

• 아즈마야 대수

• Vostokov, Sergei V. (2000). 〈I.8 Explicit formulas for the Hilbert symbol〉. 《Invitation to higher local fields》. Geom. Topol. Monogr (영어) 3. 81–89쪽. arXiv:math/0012139. 

• “Norm-residue symbol”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Hilbert symbol”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.