하이패스 필터

하이패스 필터(High-pass filter, HPF) 또는 고주파 통과 필터는 특정한 차단 주파수 이하 주파수의 신호를 감쇠시켜 차단 주파수 이상의 주파수 신호만 통과시키는 필터를 의미한다.^[1] 필터의 세부적인 주파수 응답은 필터 설계에 따라 달라진다. 고주파 통과 필터는 대개 선형 시불변 시스템으로 모델링된다. 이러한 고주파 통과 필터는 종종 오디오 부문에서 저주파 차단 필터(low-cut filter)나 저역 차단 필터(bass-cut filter)라고 부른다.^[2] 고주파 통과 필터는 0이 아닌 평균 전압에 민감한 회로나 무선 주파수 장치 같은 곳에서 직류 전압을 차단하는 데 사용하는 등 다양한 분야에 활용된다. 또한 로우패스 필터와 같이 사용하여 대역 필터를 만들 수도 있다.^[3]

광학에서는 "하이 패스"(High-pass)와 "로우 패스"(Low-pass)가 주파수와 빛의 파장 중 어느 쪽에 속하느냐에 따라서 서로 다른 의미를 가질 수 있다. 주파수의 하이 패스 필터(고주파 통과 필터)는 파장의 로우 패스 필터가 되며, 반대로 주파수의 로우 패스 필터(저주파 통과 필터)는 파장의 하이 패스 필터가 될 수 있다. 이 때문에 광학에서 파장 필터는 혼란을 막기 위해 로우 패스/하이 패스 대신 롱 패스(Long-pass), 숏 패스(Short-pass)라고 부른다.^[4]

오른쪽 그림과 같은 간단한 1차 하이패스 필터 회로는 입력 전압에 저항기와 축전기를 직렬로 이어 달고 저항기의 전압을 출력 전압으로 만들어 구현한다. 이 선형 시불변 시스템의 전달 함수는 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {V_{\rm {out}}(s)}{V_{\rm {in}}(s)}}={\frac {sRC}{1+sRC}}.}$

여기서 저항과 캐패시턴스(정전 용량)의 곱(R×C)이 시간 상수(τ)이며 이는 차단 주파수 f_c와 반비레한다. 즉 아래의 식이 성립한다.

${\displaystyle f_{c}={\frac {1}{2\pi \tau }}={\frac {1}{2\pi RC}},\,}$

여기서 차단 주파수란 필터의 극점이 필터의 주파수 응답을 벗어나는 시점의 주파수이다. 이보다 낮은 주파수일 경우 그 주파수의 신호는 차단당한다. 위 식을 통해 라플라스 변환 주파수 응답인 ${\displaystyle H(s)={V_{\rm {out}}(s) \over V_{\rm {in}}(s)}}$을 그리면 아래와 같다.

${\displaystyle H(s)={V_{\rm {out}}(s) \over V_{\rm {in}}(s)}={s\omega _{0} \over (1+s\omega _{0})}}$

오른쪽의 능동 하이패스 필터는 연산 증폭기를 사용한 1차 하이패스 필터이다. 여기서의 선형 시불변 시스템 전달 함수는 아래와 같다.

${\displaystyle {\frac {V_{\rm {out}}(s)}{V_{\rm {in}}(s)}}={\frac {-sR_{2}C}{1+sR_{1}C}}.}$

여기서 필터는 통과 대역에서 -R₂/R₁의 이득을 가지며 차단 주파수는

${\displaystyle f_{c}={\frac {1}{2\pi \tau }}={\frac {1}{2\pi R_{1}C}},\,}$

다음과 같다.

이 회로는 능동 회로이므로 필터의 이득이 상수형이 아닐 수 있다. 이 경우 고주파 신호가 반전되고 R₂/R₁만큼 증폭될 수 있다.

이산 시간에서의 하이패스 필터도 생각할 수 있다. 연속 시간 하이패스 필터를 이산 시간으로 샘플링하면 연속시간의 동작을 이산화할 수 있다.

우선, 위 문단에서의 RC 회로에서의 주파수 응답에 키르히호프의 전기회로 법칙과 전기용량를 이용하면 아래와 같다.

${\displaystyle {\begin{cases}V_{\text{out}}(t)=I(t)\,R&{\text{(V)}}\\Q_{c}(t)=C\,\left(V_{\text{in}}(t)-V_{\text{out}}(t)\right)&{\text{(Q)}}\\I(t)={\frac {\operatorname {d} Q_{c}}{\operatorname {d} t}}&{\text{(I)}}\end{cases}}}$

여기서 ${\displaystyle Q_{c}(t)}$는 ${\displaystyle t}$ 시간에 축전지에 충전되어 있는 전하량을 의미한다. 위 식에서 (Q) 식을 (I) 식에, (I) 식을 (V) 식에 대입하여 정리하면 아래와 같다.

${\displaystyle V_{\text{out}}(t)=\overbrace {C\,\left({\frac {\operatorname {d} V_{\text{in}}}{\operatorname {d} t}}-{\frac {\operatorname {d} V_{\text{out}}}{\operatorname {d} t}}\right)} ^{I(t)}\,R=RC\,\left({\frac {\operatorname {d} V_{\text{in}}}{\operatorname {d} t}}-{\frac {\operatorname {d} V_{\text{out}}}{\operatorname {d} t}}\right)}$

위 방정식을 이산화시킬 수 있다. 식을 단순하게 풀기 위해 입력 신호와 출력 신호를 일정한 시간 간격인 ${\displaystyle \Delta _{T}}$마다 샘플링된다고 가정하여 보자. 여기서 샘플링 된 입력 신호 ${\displaystyle V_{\text{in}}}$는 ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$마다 값이 존재하며 출력 신호 ${\displaystyle V_{\text{out}}}$는 ${\displaystyle V_{\text{out}}}$마다 존재하게 샘플링되어 있다. 이를 하나로 묶으면 다음과 같다.

${\displaystyle y_{i}=RC\,\left({\frac {x_{i}-x_{i-1}}{\Delta _{T}}}-{\frac {y_{i}-y_{i-1}}{\Delta _{T}}}\right)}$

이 식을 점화식 형태로 만들면 다음과 같다.

${\displaystyle y_{i}=\overbrace {{\frac {RC}{RC+\Delta _{T}}}y_{i-1}} ^{\text{Decaying contribution from prior inputs}}+\overbrace {{\frac {RC}{RC+\Delta _{T}}}\left(x_{i}-x_{i-1}\right)} ^{\text{Contribution from change in input}}}$

여기서 1차 연속시간 RC 필터의 이산 시간 구현은 다음으로 적을 수 있다.

${\displaystyle y_{i}=\alpha y_{i-1}+\alpha (x_{i}-x_{i-1})\qquad {\text{where}}\qquad \alpha \triangleq {\frac {RC}{RC+\Delta _{T}}}}$

위에서의 정의에 따라 ${\displaystyle 0\leq \alpha \leq 1}$이다. 여기서 변수 ${\displaystyle \alpha }$를 샘플링 간격 ${\displaystyle \Delta _{T}}$와의 곱을 통해 시간 상수 ${\displaystyle RC}$로 만들 수 있다.

${\displaystyle RC=\Delta _{T}\left({\frac {\alpha }{1-\alpha }}\right)}$

여기서

${\displaystyle f_{c}={\frac {1}{2\pi RC}}}$ so ${\displaystyle RC={\frac {1}{2\pi f_{c}}}}$

이므로 ${\displaystyle \alpha }$와 ${\displaystyle f_{c}}$에는 다음과 같은 관계를 이루게 된다.

${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{2\pi \Delta _{T}f_{c}+1}}}$

${\displaystyle f_{c}={\frac {1-\alpha }{2\pi \alpha \Delta _{T}}}}$

• 로우패스 필터 (LPF)

위키미디어 공용에 하이패스 필터 주제와 관련된 미디어 분류가 있습니다.

• Common Impulse Responses
• ECE 209: Review of Circuits as LTI Systems, a short primer on the mathematical analysis of (electrical) LTI systems.
• ECE 209: Sources of Phase Shift, an intuitive explanation of the source of phase shift in a high-pass filter. Also verifies simple passive LPF transfer function by means of trigonometric identity.