Александар Катаи започнал да игра фудбал во екипата на Војводина. Во текот на 2009 година бил испратен како позајмен играч во составот на Палиќ за период од шест месеци, а пред почетокот на сезоната 2009/10 тој бил промовиран во првиот тим на екипата од Нови Сад. Во Супер лигата за прв пат настапил на 10 март2010 година кога влегол како замена на натпреварот против составот на Чукарички, а првиот гол го постигнал седум дена подоцна на дуелот против екипата на Млади Радник. По само две сезони во првиот тим на Војводина, во летото 2011 година, Катаи потпишал четиригодишен договор со екипата на Олимпијакос.[1] Веднаш бил испратен како позајмен играч во клубот на ОФИ од Крит, каде одиграл само два натпревара. Во месец јануари 2012 година се вратил и тоа како позајмен играч во екипата на Војводина. Во сезоната 2013/14 повторно бил ангажиран како позајмен играч, но овој пат во тимот на Платанијас.
На крајот на месец август 2014 година Александар Катаи дошол како позајмен играч за период од една година во составот на Црвена ѕвезда.[2] Наредното лето, тој го раскинал договорот со екипата на Олимпијакос и потпишал двегодишен договор со составот на Црвена ѕвезда.[3] Во сезоната 2015/16 ја освоил титулата со црвено-белите и бил најдобар стрелец во лигата со вкупно 21 постигнат гол на 33 одиграни натпревари.[4] На последениот ден од летниот преоден рок во 2016 година тој ја напуштил екипата на Црвена ѕвезда и потпишал за шпанскиот прволигаш Алавес.[5]
На 31 декември 2019 година, Александар Катаи потпишал договор со екипата на Лос Анџелес Галакси.[6] За овој клуб одиграл само два натпревари во МЛС лигата, по што првенството било прекинато поради пандемијата на корона вирусот. Катаи бил играч на Лос Анџелес Галакси до 5 јуни 2020 година, кога договорот бил раскинат поради наводни расистички пораки што неговата сопруга ги поставила на социјалната мрежа Инстаграм.[7][8]
На 10 јули 2020 година, Александар Катаи се вратил во екипата на Црвена ѕвезда, по речиси четири години играње во странство.[9] Тој потпишал двегодишен договор вреден 480.000 евра, што го направил најплатениот играч на екипата за таа сезона. Александар Катаи го земал дресот со бројот 10 кој го носел и првиот пат кога пристигнал во составот на Црвена ѕвезда.[10]
