Бет-број

Во математиката, бесконечните кардинални броеви се претставени со првата хебрејска буква ${\displaystyle \aleph }$ (алеф) со подзнак над редните броеви во облик на „алеф-број“. Втората хебрејска буква ${\displaystyle \beth }$ (бет) се користи на сличен начин, но не мора да ги опфаќа како подзнак сите броеви што ги опфаќа ${\displaystyle \aleph }$.

Бет-броевите се утврдуваат вака:

нека

${\displaystyle \beth _{0}=\aleph _{0}}$

е кардиналноста на преброиво бесконечно множество; поконкретно, како типичен случај можеме да го земеме множеството на природни броеви ${\displaystyle \mathbb {N} }$. Со P(A) го означуваме партитивното множество на A, т.е. множеството на сите подмножества на A. Потоа задаваме

${\displaystyle \beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }},}$

што е кардиналноста на партитивното множество на A ако ${\displaystyle \beth _{\alpha }}$ е кардиналноста на A.

Така зададено,

${\displaystyle \beth _{0},\ \beth _{1},\ \beth _{2},\ \beth _{3},\ \dots }$

се кардиналностите на

${\displaystyle \mathbb {N} ,\ P(\mathbb {N} ),\ P(P(\mathbb {N} )),\ P(P(P(\mathbb {N} ))),\ \dots .}$

па вториот бет-број ${\displaystyle \beth _{1}}$ е еднаков на ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ (кардиналност на континуумот), а третиот бет-број ${\displaystyle \beth _{2}}$ е кардиналноста на партитивното множество на континуумот.

Поради Канторовата теорема, секое множество во претходната низа има кардиналност строго поголема од она кое му претходи. Кај бесконечните лимесни ординали λ, соодветниот бет-број се дефинира како најмалата горна граница (супремум) на бет-броевите на сите ординали строго помали од λ:

${\displaystyle \beth _{\lambda }=\sup\{\beth _{\alpha }:\alpha <\lambda \}.}$

Можеме да покажеме и дека фон Нојмановата хиерархија ${\displaystyle V_{\omega +\alpha }\!}$ има кардиналност ${\displaystyle \beth _{\alpha }\!}$.

Assuming the аксиомата на изборот, бесконечните кардиналности се линеарно подредени; секои две кардиналности мора да се споредливи. Така, бидејќи по дефиниција нема бесконечни кардинали помеѓу ${\displaystyle \aleph _{0}}$ и ${\displaystyle \aleph _{1}}$, следи дека

${\displaystyle \beth _{1}\geq \aleph _{1}.}$

Со повторување на овој аргумент (трансконечна индукција) добиваме ${\displaystyle \beth _{\alpha }\geq \aleph _{\alpha }}$ за сите ординали ${\displaystyle \alpha }$.

Хипотезата за континуумот е еднаква на

${\displaystyle \beth _{1}=\aleph _{1}.}$

Воопштената хипотеза на континуумот вели дека вака определената низа од бет-броеви е истоветна со низата од алеф-броеви, т.е., ${\displaystyle \beth _{\alpha }=\aleph _{\alpha }}$ за сите ординали ${\displaystyle \alpha }$.

Бидејќи ова по дефиниција е ${\displaystyle \aleph _{0}}$ (алеф-нула), тогаш множествата со кардиналност ${\displaystyle \beth _{0}}$ се следниве:

• природните броеви N
• рационалните броеви Q
• алгебарските броеви
• пресметливите броеви и пресметливите множества
• множеството на конечни множества на цели броеви

Кардиналност ${\displaystyle \beth _{1}}$ имаат следниве множества:

• трансцендентните броеви
• ирационалните броеви
• реалните броеви R
• комплексните броеви C
• Евклидов простор Rⁿ
• партитивното множество на природни броеви (the set of all subsets of the natural numbers)
• множеството на низи од цели броеви (т.е. сите функции N → Z, честопати означени како Z^N)
• множеството на низи од реални броеви, R^N
• множеството на сите непрекинати функции од R до R
• мноежството од конечни подмножества на реални бреови

${\displaystyle \beth _{2}}$ се нарекува и 2^c (изг. „на степен це“).

Множества со кардиналност ${\displaystyle \beth _{2}}$ се:

• Партитивното множество of the set of real numbers, so it is the number of подмножества на реалната оска, или бројот на множества на реални броеви
• Партитивното множество на партитивното множество на природни броеви
• Множеството на сите функции од R до R (R^R)
• Множеството на сите функции од R^m до Rⁿ
• Партитивното множество на множеството на сите функции од множеството на природни броеви до самото себе, што значи дека е бројот на множества низи од природни броеви
• Стоун-Чеховите компактификации на R, Q и N

${\displaystyle \beth _{\omega }}$ (pronounced beth omega) is the smallest uncountable strong limit cardinal.

Понекогаш се користи поопштиот симбол ${\displaystyle \beth _{\alpha }(\kappa )}$ за ординали α и кардинали κ. Определбата гласи:

${\displaystyle \beth _{0}(\kappa )=\kappa ,}$

${\displaystyle \beth _{\alpha +1}(\kappa )=2^{\beth _{\alpha }(\kappa )},}$

${\displaystyle \beth _{\lambda }(\kappa )=\sup\{\beth _{\alpha }(\kappa ):\alpha <\lambda \}}$ ако λ е лимесен ординал.

Значи, ${\displaystyle \beth _{\alpha }=\beth _{\alpha }(\aleph _{0}).}$

Во Цермело-Френкеловата теорија, за секој кардинал κ и μ има ординал α така што:

${\displaystyle \kappa \leq \beth _{\alpha }(\mu ).}$

Теоријата вели дека за секој кардинал κ и ординали α и β:

${\displaystyle \beth _{\beta }(\beth _{\alpha }(\kappa ))=\beth _{\alpha +\beta }(\kappa ).}$

Затоа, во Цермело–Френкеловата теорија на множествата во отсуство урелементи со или без аксомата за избор за сите кардинали κ и μ, равенството

${\displaystyle \beth _{\beta }(\kappa )=\beth _{\beta }(\mu )}$

важи зас ите доволно големи ординали β (т.е. не постои α за која равенството ќе важи за секој ординал β ≥ α).

Ова важи и во Цермело-Фенкеловата теорија со урелементи со или без аксиомата за избор под услов урелементите да образуваат множество што е рамнобројно со некое чисто множество (множество чие транзитивно затворање не содржи урелементи). Ако важи аксиомата за избор, тогаш секое множество од урелементи е рамнобројно со чисто множество.

• Алеф-број

• T. E. Forster, Set Theory with a Universal Set: Exploring an Untyped Universe, Oxford University Press, 1995, стр. 5.