Виетови формули

Виетови формули — формули во математиката односно алгебрата, именувани според Франсоа Виет, кои ја даваат врската помеѓу нулите на полиномот и неговите коефициенти.

Ако

${\displaystyle P(X)=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}}$

е полином од степен ${\displaystyle n\geq 1}$ со комплексни коефициенти (па броевите ${\displaystyle a_{0},a_{1},\dots ,a_{n-1},a_{n}}$ се комплексни, и ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$ ), според основната теорема на аритметиката ${\displaystyle P(X)}$ има ${\displaystyle n}$ (не задолжително различни) комплексни корени ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}.}$ Виетовите формули велат дека

${\displaystyle (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n}={\frac {a_{n-2}}{a_{n}}}}$

${\displaystyle \cdots \,}$

${\displaystyle x_{1}x_{2}\cdots x_{n}=(-1)^{n}{\frac {a_{0}}{a_{n}}}.}$

${\displaystyle \sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\cdots x_{i_{k}}=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}}$

Со други зборови, збирот на сите можни производи ${\displaystyle k}$ на нулите на полиномот ${\displaystyle P(X)}$ е еднаков ${\displaystyle (-1)^{k}a_{n-k}/a_{n},}$

${\displaystyle a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}=a_{n}(X-x_{1})(X-x_{2})\cdots (X-x_{n})}$

за секое ${\displaystyle k=1,2,\dots ,n.}$

Виетовите формули важат поопшто за полиноми со коефициенти во кој било комутативен прстен, сѐ додека тој полином од ${\displaystyle n}$-ти степен има ${\displaystyle n}$ нули во тој прстен.

За полином од втор степен ${\displaystyle P(X)=aX^{2}+bX+c}$, Виетовите формули гласат дека решенијата ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$ се квадратна равенка ${\displaystyle P(X)=0}$ задоволуваат:

${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}.}$

Првата равенка може да се користи за да се најде минимумот (или максимумот).

Виетовите формули може да се докажат со запишување на еднаквоста

${\displaystyle a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}=a_{n}(X-x_{1})(X-x_{2})\cdots (X-x_{n})}$

(што е точно затоа што ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ се сите нули на полиномот), со множење преку факторите од десната страна и наоѓање на коефициентите на секој степен ${\displaystyle X}$.

• Vinberg, E. B. (2003). A course in algebra. American Mathematical Society, Providence, R.I. ISBN 978-0-8218-3413-8.CS1-одржување: ref=harv (link)
• Đukić, Dušan, (2006). The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959-2004. Springer, New York, NY. ISBN 978-0-387-24299-6.CS1-одржување: излишна интерпункција (link) CS1-одржување: ref=harv (link)