Лице (геометрија)

Лице, страна или ѕид — рамна површина (рамнинска област) што претставува дел од границата на тело.^[1] Тродимензионално тело ограничено исклучиво со лица е полиедар.

Во потехнички разгледувања на геометријата на полиедрите и повеќедимензионалните политопи, поимот исто така се користи за да значи елемент од која било димензија на поопшт политоп (во кој било број димензии).^[2]

Во елементарната геометрија, лице е многуаголник^{[б 1]} на границата на многуедар.^[2][3] Други имиња за повеќеаголно лице се полиедарска страна и Евклидова рамна теселација.

На пример, кој било од шесте квадрати што врзуваат коцка е лице на коцката. Понекогаш „лицето“ се користи и за да се однесува на 2-димензионалните карактеристики на 4-политоп. Со ова значење, 4-димензионалниот тесеракт има 24 квадратни лица, од кои секое дели две од 8 кубни ќелии.

Редовни примери со Шлефлиевот симбол

Полиедар	Ѕвезден полиедар	Евклидова теселација	Хиперболична теселација	4-политоп
{4,3}	{5/2,5}	{4,4}	{4,5}	{4,3,3}
Коцката има 3 квадратни лица по теме.	Малиот ѕвезден додекаедар има 5 пентаграмски лица по теме.	Квадратната теселација во Евклидовата рамнина има 4 квадратни лица по теме.	Редот-5 квадратни теселации има 5 квадратни лица по теме.	Тесерактот има 3 квадратни лица по раб.

Секоја површина на конвексен полиедар има Ојлерова карактеристика

${\displaystyle V-E+F=2,}$

каде V е бројот на темиња, E е бројот на рабовите и F е бројот на лица. Оваа равенка е позната како Ојлеровата полиедарска формула. Така, бројот на лица е за 2 повеќе од разликата на бројот на рабовите и бројот на темиња. На пример, една коцка има 12 рабови и 8 темиња, а оттука и 6 лица.

Во повисокодимензионалната геометрија, лицата на политопот се одлики од сите димензии.^[2][4] Лицето со димензија k се нарекува k-лице. На пример, повеќеаголните лица на обичен полиедар се со 2-лица. Во теоријата на множествата, множеството лица на политоп го вклучува самиот политоп и празното множество, каде што празното множество е за конзистентност со „димензија“ од -1. За кој било n -политоп (n-димензионален политоп), −1 ≤ k ≤ n.

На пример, со ова значење, лицата на коцката ја сочинуваат самата коцка (3-лица), нејзините (квадратни) аспекти (2-лица), нејзините (линиски сегмент) рабови (1-лица), нејзините (точка) темиња (0-лица), и празното множество.

Во некои области на математиката, како што е полиедарската комбинаторика, политопот е по дефиниција конвексен. Формално, лице на политоп P е пресекот на P со кој било затворен полупростор чија граница не е поврзана со внатрешноста на P.^[5] Од оваа дефиниција произлегува дека множеството лица на политоп ги опфаќа самиот политоп и празното множество.^{[6] [4]}

Во други области на математиката, како што се теориите за апстрактни политопи и ѕвездести политопи, барањето за конвексност е олабавено. Апстрактната теорија сè уште бара множеството лица да го вклучува самиот политоп и празното множество.

n -димензионален симплекс (линиска отсечка (n = 1), триаголник (n = 2), тетраедар (n = 3) итн.), дефиниран со n + 1 темиња, има лице за секое подмножество темиња, од празното поставено до множеството од сите темиња. Конкретно, има вкупно 2^{n + 1} лица. Бројот на нив што се k-лица, за k ∈ М {−1, 0, ..., n}, е биномниот коефициент ${\displaystyle {\binom {n+1}{k+1}}}$ .

Постојат специфични имиња за k-лицата во зависност од вредноста на k и, во некои случаи, од тоа колку k е блиску до димензионалноста n на политопот.

Теме е вообичаено име за 0-лице.

Раб е вообичаено име за 1-лице.

Употребата на лице во контекст каде што специфичното k е наменето за k-лице, но не е експлицитно специфицирано, најчесто е 2-лице.

Ќелија е полиедарски елемент (3-лице) од 4-димензионален политоп или 3-димензионален тесел или повисок. Ќелиите се аспекти за 4-политопи и 3-саќе.

Правилни примери со Шлефлиевиот симбол

4-политопи		3-саќе
{4,3,3}	{5,3,3}	{4,3,4}	{5,3,4}
Тесерактот има 3 кубни ќелии (3 лица) по раб.	120-ќелијата има 3 додекаедарни ќелии (3 лица) по раб.	Кубното саќе го пополнува Евклидовиот 3-простор со коцки, со 4 ќелии (3-лица) по раб.	Додекаедарното саќе од 4. ред го исполнува 3-димензионалниот хиперболичен простор со додекаедри, 4 ќелии (3-лица) по раб.

Во повисокодимензионалната геометрија, хиперлицата на n-политопот се (n − 1 ) лицата (лице со димензија за еден помало од самиот политоп).^[7] Политопот е ограничен со неговите хиперлица.

На пример:

• Хиперлицата на отсечката се нејзините 0-лица или темиња .
• Хиперлицата на многуаголникот се неговите 1-лица или рабови .
• Хиперлицата на полиедар или рамна поплочка се неговите 2-лица.
• Хиперлицата на 4Д политоп или 3-саќе се неговите 3-лица или ќелии.
• Хиперлицата на 5Д политоп или 4-саќе се неговите 4-лица.

Во сродната терминологија, (n − 2 )-лицата на n-политопот се нарекуваат гребени (исто така подхиперлица).^[8] Гребенот се гледа како граница помеѓу точно две хиперлица на политоп или саќе.

На пример:

• Гребените на 2D полигон или 1D поплочка се неговите 0-лица или темиња .
• Гребените на 3D полиедар или рамни плочки се неговите 1-лици или рабови .
• Гребените на 4Д политоп или 3-саќе се негови 2 лица или едноставно лица .
• Гребените на 5Д политоп или 4-саќе се неговите 3 лица или ќелии .

(n − 3)-лицата на n-политоп се нарекуваат врвови. Врвот содржи ротациона оска од хиперлица и гребени во обичен политоп или саќе.

На пример:

• Врвовите на 3Д полиедар или рамна поплочка се неговите 0-лица или темиња .
• Врвовите на 4Д политоп или 3-саќе се неговите 1-лица или рабови.
• Врвовите на 5Д политоп или 4-саќе се неговите 2-лица или едноставно лица.

1. ↑ Некои други многуаголници, кои не се лица, се исто така важни за полиедарите и теселациите. Тие вклучуваат Петриеви полигони, темени фигури и хиперлица(рамни многуаголници образувани од компланарни темиња кои не лежат во истото лице на полиедарот).