Математички доказ

Доказот и докажувањето — едни од најосновните поставки во математиката. Интуитивно, доказот е начин на кој може да се покаже (или пак негира!) вистинитоста (точноста) на одредено тврдење. Строго, пак, математички, доказот претставува постапка со помош на која во конечен број чекори се утврдува точноста на некое тврдење. Значи ако точноста на некое тврдење може да се утврди со помош на постапка со бесконечен број чекори, тогаш оваа постапка не се смета за математички доказ.

Доказот е нужен, неизбежен, составен дел на секое математичко тврдење (како што се: теоремите и лемите), со исклучок на аксиомите.^[2]^[3]^[4]

Методи на докажување

Постојат повеќе методи (начини, принципи, модели) за утврдување на точноста на некое тврдење, т.е. докажување. Теоретската разработка на овие методи спаѓа во доменот на математичката логика.

Најосновен и многу чест начин на докажување е директното докажување. При директно докажување се поаѓа од тврдење чијашто точност е позната, па по конечен број чекори (извршени операции) се утврдува точноста на тврдењето чијашто точност се утврдува. Нека ни е позната точноста на тврдењето p, а поаѓајќи од него треба да ја утврдиме точноста на тврдењето q. Логички овој метод се именува како p повлекува (имплицира) q, со ознака p⇒q. Понекогаш е многу полесно да се појде од спротивната претпоставка на тврдењето q, па да се стигне до спротивната претпоставка на p. Логички овој метод се именува како не-p повлекува (имплицира) не-q, со ознака ¬p⇒¬q, а се нарекува метод на контрапозиција. Значи директното докажување и контрапозицијата се заемно еквивалентни: (p⇒q)⇔(¬q⇒¬p). Сите методи на докажување се помалку или повеќе познати логички закони (логички импликации или еквиваленции). Такви се на пример:

Закон на хипотетички силогизам: (p⇒q)∧(q⇒r)⇒(p⇒r);
Закон за одвојување (modus ponens): [p∧(p⇒q)]⇒q;
Закон за сведување на противречност (reductio ad absurdum): [p⇒(q∧¬q)]⇒¬p;

и слични на нив.

Освен директниот доказ, сите останати докази се индиректни. Во посложени ситуации доказот може да има облик на продолжена импликација: p₁⇒p₂⇒...⇒p_n-1⇒p_n, или пак на продолжена еквиваленција: p₁⇔p₂⇔...⇔p_n-1⇔p_n.

Треба да се има предвид дека буквите во наведените логички искази не се означени само елементарни искази, туку и сложени искази, формули итн.

Наводи

↑ Bill Casselman. „One of the Oldest Extant Diagrams from Euclid“. University of British Columbia. Посетено на September 26, 2008.
↑ Clapham, C. & Nicholson, JN. The Concise Oxford Dictionary of Mathematics, Fourth edition. A statement whose truth is either to be taken as self-evident or to be assumed. Certain areas of mathematics involve choosing a set of axioms and discovering what results can be derived from them, providing proofs for the theorems that are obtained.
↑ Cupillari, Antonella (2005) [2001]. The Nuts and Bolts of Proofs: An Introduction to Mathematical Proofs (Third. изд.). Academic Press. стр. 3. ISBN 978-0-12-088509-1.
↑ Gossett, Eric (July 2009). Discrete Mathematics with Proof. John Wiley & Sons. стр. 86. ISBN 978-0470457931. Definition 3.1. Proof: An Informal Definition