Метрички простор

Нека е дадено множество ${\displaystyle X}$ и пресликување

${\displaystyle \ d:X\times X\rightarrow \mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}}$

такво што ${\displaystyle \ \forall x,y,z\in X}$:

• ${\displaystyle \ d(x,y)\geq 0}$
• ${\displaystyle \ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y}$
• ${\displaystyle \ d(x,y)=d(y,x)}$
• ${\displaystyle \ d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$

Подредениот пар ${\displaystyle (X,d)}$ го нарекуваме метрички простор, а пресликувањето ${\displaystyle \ d}$ се вика метрика или растојание во метричкиот простор.

Неформално, метричкиот простор може да го сфатиме како непразно множество во кое на секој пар елементи му се придружува ненегативен реален број; овој број е нула ако и само ако елементите на парот се меѓусебно еднакви.

Метричките простори се многу битен концепт во математичката анализа и топологијата. Некои резултати од теоријата на метричките простори се клучни во обопшувањето на некои поими (на пример: интегрално сметање во n-димензии, формално дефинирање на топка итн.) или пак за воведување на нови поими (отворени/затворени множества, концепт на мера итн.). Најопшто следи заклучокот дека сѐ она со кое математиката се занимава во рамките на реалните n-димензионални Евклидови простори може да се обопшти на произволен метрички простор (диференцирање, интегрирање, геометрија во произволен метрички простор). Токму тука се границите на математичката анализа и делот каде таа преминува во топологија.

Со воведувањето на поимот за метрички простор се постигнува апстракција во поглед на поимот растојание, слично како што со векторските простори се постигнува апстракција на поимот вектор.

Улогата на метрика може да ја игра кое било пресликување кое ги исполнува навдените четири услови. Тоа значи дека, во најмала рака, може да се конструираат „чудни“ метрички простори. Некои примери за метрички простори се:

• Множеството од реални броеви ${\displaystyle \mathbb {R} }$ со метриката ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|\,.}$ Oва е таканаречениот еднодимензионален Евклидов метрички простор.
• Множеството од подредени n-торки реални броеви:

${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{n}={\big \{}(x_{1},x_{2},...,x_{n})|x_{i}\in \mathbb {R} ,i=1,2,...n{\big \}}}$

со метриката

${\displaystyle \ d(x,y)=d{\big (}(x_{1},x_{2},...,x_{n}),(y_{1},y_{2},...,y_{n}){\big )}={\big [}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}{\big ]}^{\frac {1}{2}}}$

е n-димензионален Евклидов метрички простор.

• Множеството ${\displaystyle \ C_{[a,b]}}$, т.е. множеството од непрекинати функции дефинирани на интервалот ${\displaystyle [a,b]\,,}$ со метриката:

${\displaystyle \ d_{p}(f,g)=\left(\int _{a}^{b}|f(x)-g(x)|^{p}\,dx\right)^{\frac {1}{p}},\,\,\,\,\,\,\ p\geq 1\,.}$

• Koe било множество ${\displaystyle \ X}$ со метриката:

${\displaystyle \ d(x,y)={\begin{cases}1,&x\neq y\\0,&x=y\end{cases}}}$

претставува метрички простор. Вака конструираниот метрички простор се нарекува дискретен метрички простор, а метриката во него се вика дискретна метрика.

Последниов пример е особено невообичаен затоа што, буквално, по волја се задава растојанието меѓу два елемента од множеството.

• Векторски простор
• Апсолутна вредност
• Реален број