Постојат неколку начини да се покаже точноста на равенството. Ние ќе ја покажеме користејќи се со Тејлор-Меклореновиот развој (Taylor-MacLaurin) развој на експоненцијалната и тригонометриските фунции. Според нивниот развој имаме:
Сега имаме:
Бидејќи:
Следствено:
со што ја покажавме точноста на равенството.
Важност
Ојлеровата формула овозможува да се дефинира експоненцијална функција за комплексни аргументи:
Друг многу важен факт кој произлегува од оваа формула е следниов: нека во формулата ставиме . Тогаш се добива следново:
, односно, конечно:
Последново равенство се нарекува равенство на Ојлер и е едно од најважните и математички најубавите равенства. Самиот израз вклучува девет основни концепти на математиката: три операции: собирање, множење, степенување; пет основни константи: единицата, нулата, односот на периметарот и пречникот на кружницата - , основата на природниот логаритам - , имагинарната единица - и една основна релација: еднаквост .
Интересно
Многумина го сметаат ова равенство за математички совршено зашто ниту едно друго равенство во математиката не вклучува толкав број основни математички концепти на така елегантен и едноставен начин. Познат е и следниов коментар: Што би можело да биде помистично: имагинарен број во интеракција со реални - да даде ништо?
Ова равенство било докажано за првпат во 1714. година, не од Ојлер, туку од британскиот математичар Роџер Котс (Roger Cotes) во алтернативен облик:
Ојлер го објавил својот доказ (идентичен со оној даден во оваа статија) во 1748.