Скаларен производ

Скаларен производ — бинарна операција која зема два вектора како аргументи, а резултатот е скаларен. Ова е посебен случај на внатрешно множење на простори. Ако овие два вектора се исто така од векторски простор, записот за оваа операција е како што следи:

${\displaystyle (a,b)\mapsto a\cdot b}$

Скаларен производ се вика секое пресликување кое ги има следните својства:

${\displaystyle (u+v)\cdot w=u\cdot w+v\cdot w}$

${\displaystyle (\alpha u)\cdot v=\alpha (u\cdot v)}$

${\displaystyle u\cdot v=v\cdot u}$

${\displaystyle u\neq 0\Rightarrow u\cdot u>0}$

Каде, и векторите о, а α се произволен реален број.

Скаларен производ на векторите ${\displaystyle {\vec {x}}}$ јас ${\displaystyle {\vec {y}}}$ се дефинира на следниов начин:

${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=|{\vec {x}}|\,|{\vec {y}}|\,\cos \measuredangle \left({\vec {x}},{\vec {y}}\right)=x_{1}\,y_{1}+x_{2}\,y_{2}+\ldots +x_{n}\,y_{n}}$

Притоа ${\displaystyle |{\vec {x}}|}$ и ${\displaystyle |{\vec {y}}|}$ се интензитетите на овие вектори, определени со следните координати:

${\displaystyle {\vec {x}}=(x_{1},x_{2},\dots x_{n})}$ јас ${\displaystyle {\vec {y}}=(y_{1},y_{2},\dots y_{n})}$

Пример за скаларно множење на вектори (1, 3, −5) и (4, −2, −1) во тридимензионален простор:

${\displaystyle {\begin{aligned}&(1,3,-5)\cdot (4,-2,-1)\\&=1\cdot 4+3\cdot (-2)+(-5)\cdot (-1)\\&=4-6+5\\&=3\end{aligned}}}$

Формулата : ${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=|{\vec {x}}|\cdot |{\vec {y}}|\cdot \cos \measuredangle \left({\vec {x}},{\vec {y}}\right)}$ може да се докаже со набљудување на два вектора со заеднички почеток и нивната разлика:

Ако ${\displaystyle \gamma }$ е аголот помеѓу два вектора чиј скаларен производ треба да се најде, користејќи ја косинусната теорема може да се напише:

${\displaystyle |{\vec {c}}|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cdot \cos {\gamma }}$

Бидејќи ${\displaystyle {\vec {c}}}$ е еднаков на ${\displaystyle {\vec {b}}-{\vec {a}}}$, следи:

${\displaystyle |{\vec {b}}-{\vec {a}}|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cdot \cos {\gamma }}$

Од каде се наоѓа:

${\displaystyle \left({\vec {b}}-{\vec {a}}\right)\cdot \left({\vec {b}}-{\vec {a}}\right)={\vec {a}}\cdot {\vec {a}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cdot \cos {\gamma }}$

${\displaystyle {\vec {b}}\cdot {\vec {b}}-2{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}+{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}={\vec {a}}\cdot {\vec {a}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cdot \cos {\gamma }}$

Оттука се добива конечната формула:

${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cdot \cos {\gamma }.}$

Со замена на вредностите на аглите во претходната формула во случај векторите ${\displaystyle {\vec {x}}}$ и ${\displaystyle {\vec {y}}}$ да се заемно нормално добиваме:

${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=0}$ .

Ова својство често е корисно за докажување дека векторите се меѓусебно нормални, бидејќи е доволно и неопходно нивниот скаларен производ да биде еднаков на нула.

Скаларниот производ на вектори ги има следните својства:

• комутативност

${\displaystyle {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}={{\vec {b}}\cdot {\vec {a}}}}$

• дистрибутивност во однос на собирањето

${\displaystyle ({\vec {a}}+{\vec {b}})\cdot {\vec {c}}={\vec {a}}\cdot {\vec {c}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}}$

• во општ случај не е асоцијативен
• за него важи следново:

${\displaystyle (\alpha {\vec {a}})\cdot {\vec {b}}={\vec {a}}\cdot (\alpha {\vec {b}})=\alpha {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}$

Со користење на скаларен производ на вектори, може да се изведе формула за интензитет на векторот.^[1]

Бидејќи:

${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}={x_{1}}{y_{1}}+{x_{2}}{y_{2}}+\dotsb +{x_{n}}{y_{n}}.}$

За посебен случај кога ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {y}}}$ еднаквоста се претвора во: ${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {x}}={x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+{x_{3}}^{2}+\dots +{x_{n}}^{2}}$

Врз основа на тоа се заклучува:

${\displaystyle |{\vec {x}}|={\sqrt {{\vec {x}}\cdot {\vec {x}}}}={\sqrt {{x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+\dots +{x_{n}}^{2}}}.}$

Овој образец ја претставува формулата за пресметување на интензитетот на векторот.

Бидејќи самите вектори се применливи во физиката, скаларниот производ на вектори наоѓа примена во неа. Така, на пример, работата се дефинира како скаларен производ на векторот на сила и векторот на поместување:

${\displaystyle A={\vec {F}}\cdot {\vec {r}}=|{\vec {F}}|\cdot |{\vec {r}}|\cdot \cos \alpha }$

Бидејќи е познато дека скаларниот производ на два вектора и производот на нивните интензитети со агол меѓу нив, аголот може да се пресмета со инверзна операција.^[2][3]

${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}|\,|{\vec {b}}|\cos \theta \,}$ ${\displaystyle \Longrightarrow }$ ${\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{|{\vec {a}}||{\vec {b}}|}}\right).}$

${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ),}$ Оваа формула наоѓа примена во поедноставувањето на векторските пресметки во физиката

Со помош на скаларниот производ може да се пресмета проекција на вектор врз вектор^[4], т.е.

• ${\displaystyle {\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b_{0}}}=\mid {\overrightarrow {a}}\mid \ cos\omega ={\overrightarrow {a_{b}}}}$ скаларна проекција на векторот ${\displaystyle {\overrightarrow {a}}}$ врз векторот ${\displaystyle {\overrightarrow {b}}}$
• ${\displaystyle {\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b_{0}}}=\mid {\overrightarrow {a}}\mid \ cos\omega ={\overrightarrow {b_{a}}}}$ скаларна проекција на векторот ${\displaystyle {\overrightarrow {b}}}$ врз векторот ${\displaystyle {\overrightarrow {a}}}$
• ${\displaystyle ({\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b_{0}}})*{\overrightarrow {b_{0}}}=a_{b}{\overrightarrow {b_{0}}}}$ векторска проекција на векторот ${\displaystyle {\overrightarrow {a}}}$ врз векторот ${\displaystyle {\overrightarrow {b}}}$
• ${\displaystyle ({\overrightarrow {a_{0}}}{\overrightarrow {b}})*{\overrightarrow {a_{0}}}=b_{a}{\overrightarrow {a_{0}}}}$ векторска проекција на векторот ${\displaystyle {\overrightarrow {b}}}$ врз векторот ${\displaystyle {\overrightarrow {a}}}$

• ${\displaystyle {\overrightarrow {a}}\cdot {\overrightarrow {b}}=0\Rightarrow {\overrightarrow {a}}\bot {\overrightarrow {b}}}$ ^[5]
• ${\displaystyle {\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {a}}=\mid {\overrightarrow {a}}\mid \mid {\overrightarrow {a}}\mid \cos \ 0=\mid {\overrightarrow {a}}\mid ^{2}=>\mid {\overrightarrow {a}}\mid {\sqrt {{\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {a}}}}}$
• ${\displaystyle {\overrightarrow {a}}\perp {\overrightarrow {b}}=>{\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b}}=0}$
• ${\displaystyle {\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b}}=0=>{\overrightarrow {a}}\perp {\overrightarrow {b}}}$ или барем еден од векторите е ${\displaystyle {\overrightarrow {0}}}$
• ${\displaystyle cos\omega ={\frac {{\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b}}}{\mid {\overrightarrow {a}}\mid \mid {\overrightarrow {a}}\mid }}}$ ( ${\displaystyle 0<\omega <\pi }$ )

• Вектор
• Скалар
• Векторски производ

• Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Inner product”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. 978-1556080104. 
• Weisstein, Eric W. „Dot product”. MathWorld.