Стационарен процес

Оваа статија или заглавие има потреба од викифицирање за да ги исполни стандардите за квалитет на Википедија. Ве молиме помогнете во подобрувањето на оваа статија со соодветни внатрешни врски.

Во математиката, стационарен процес е стохастички процес.

Во некои ситуации е возможно да се добие дистрибуција на процесот,кој води до концептот за стационарност којшто ќе го дефинираме во следното.^[1]: Велиме дека стохастичкиот процес (временската низа) е стационарен во смисла ако :

• маргиналните дистрибуции од сите променливе се идентични ;
• крајно - димензионалните дистрибуции од секој сет на променливи зависи само од доцнењето меѓу нив.

Постојат два концепта на стационарноста^[2]:

• концепт на слаба стационарност (стационарност во поширока смисла)
• концепт на строга стационарност (стационарност во потесна смисла; силна стационарност).

Стохастичкиот процес има слаба стационарност ако се исполнети следните три услови:

1. Средина: ${\displaystyle E(y_{t})}$ = μ, t=1, 2, ...
2. Варијанса: ${\displaystyle var(y_{t})}$ = ${\displaystyle E(y_{t}}$ - μ) ² = σ², t = 1, 2, ...
3. Коваријанса: ${\displaystyle cov(y_{t}}$, ${\displaystyle y_{t-k})=}$ ${\displaystyle E[(y_{t}}$ - μ ) ${\displaystyle (y_{t-k}}$ -μ )] = ${\displaystyle y_{k}}$, t = 1, 2, ...; k = 1, 2, ...;

каде t ги претставува временските точки, додека k е временското заостанување(Притоа, ${\displaystyle y_{k}}$ е всушност автоковаријанса (коваријанса на y со своите претходни вредности). Така, ${\displaystyle y_{k}}$ е коваријанса за временско заостанување од k периоди, односно ${\displaystyle y_{k}}$ е коваријанса помеѓу вредностите на ${\displaystyle y_{t}}$ и ${\displaystyle y_{t-k}}$ (помеѓу вредностите на y кои се оддалечени k периоди). Ако k = 0 се добива ${\displaystyle y_{0}}$ што претставува варијанса на y = ( σ²); Ако k = 1 се добива ${\displaystyle y_{1}}$ што претставува коваријанса помеѓу две соседни вредности на y).

Првите два услови значат дека процесот има слабата стационарност ако неговите очекувана вредност (средина) и варијанса не се менуваат низ времето (се константни). Третата равенка значи дека коваријансата помеѓу секои два члена на стохастичкиот процес е функција само од k, временското заостанување помеѓу нив. За дадена вредност на k, коваријансата помеѓу ${\displaystyle y_{t}}$ и ${\displaystyle y_{t-k}}$ не се менува низ времето (е константна).

Стохастичкиот процес има строга стационарност ако заедничкиот распоред на веројатност на n опсервации ${\displaystyle y_{t1}}$ , ${\displaystyle y_{t2}}$, ... , ${\displaystyle y_{tn}}$ , добиени од било кое множество на временски точки ${\displaystyle t_{1}}$,, ${\displaystyle t_{2}}$, ... , ${\displaystyle t_{n}}$, е ист со заедничкиот распоред на n опсервации ${\displaystyle y_{t1+k}}$, ${\displaystyle y_{t2+k}}$, ... , ${\displaystyle y_{tn+k}}$, добиени од временските точки ${\displaystyle y_{t1}}$,+ k, ${\displaystyle t_{2}}$ , + k, ... , ${\displaystyle t_{n}}$ + k. Односно, процесот да биде строго стационарен, заедничкиот распоред на било кое множество на опсервации мора да биде непроменет со поместување (напред или назад) на сите временски точки за било кој цел број k. Тоа значи дека случајните променливи кои припаѓаат на строго стационарниот стохастички процес треба да имаат идентична очекувана вредност, варијанса, како и моменти од повисок ред (доколку постојат).

Барањето за строга стационарност е тешко да се потврди емпириски. Поради тоа во многу студии кога се зборува за стационарност се мисли на слабата стационарност.

• Спектрална декомпозиција од случајна функција (Спрингер)