Тензорски производ

Тензорски производ (ознака${\displaystyle \,\otimes \,}$) се користи во многу различни полиња поврзани со вектори, матрици, тензори, алгебарски и тополошки векторски простори. Меѓутоа, во сите случаи, тоа значи биланеарна операција. Тензорскиот производ не е комутативен.

Тензорите се дефинирани на тој начин што може да им се доделат одреден број на индекси. Индексите можат да бидат коваријантни (напишани долу) или контраваријантни (напишани горе). Вкупниот број на коваријантни и контраваријантни индекси се нарекува ред на тензорот (ранг на тензорот), кој не зависи од бројот на димензиите на просторот во кој се набљудува тензорот. Тензорите со ред 0 се скалари, оние со ред 1 се вектори. Сите големини кои имаат ред поголем или еднаков на 2 обично се нарекуваат тензори.

Тензорскиот производ ${\displaystyle V\otimes W\,}$ од два векторски простори ${\displaystyle V\,}$ и ${\displaystyle W\,}$ над телото ${\displaystyle K\,}$ може да се дефинира со користење на методот на генератори и релации. Со тензорскиот производ на два векторски простори, добиваме нов векторски простор чија димензија е еднаква на производот од димензиите на одделните векторски простори. Слично на тоа, со множење на цели броеви се добива нов цел број.

Тензорскиот производ на два тензори од прв ред, кои се нарекуваат вектори, има поединечни компоненти определени на следниов начин:

${\displaystyle {\begin{aligned}(A\otimes B)_{\ j}^{i}&=C_{\ j}^{i}\\&=A^{i}B_{j}\end{aligned}}}$ .

За вредностите ${\displaystyle i\in \{1,2,3\},~j\in \{1,2,3,4\}}$ ова е еднакво на:

${\displaystyle A\otimes B=A^{i}\delta _{i}\otimes B_{j}\delta ^{j}=A^{i}B_{j}\;(\delta _{i}\otimes \delta ^{j})=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{4}A^{i}B_{j}\;(\delta _{i}\otimes \delta ^{j})}$

${\displaystyle ={\begin{bmatrix}A^{1}B_{1}&A^{1}B_{2}&A^{1}B_{3}&A^{1}B_{4}\\A^{2}B_{1}&A^{2}B_{2}&A^{2}B_{3}&A^{2}B_{4}\\A^{3}B_{1}&A^{3}B_{2}&A^{3}B_{3}&A^{3}B_{4}\end{bmatrix}}={C}}$ .

Поединечните компоненти на тензорскиот производ од два тензори од втор ред, кои се матрици, се одредуваат на следниов начин:

${\displaystyle {\begin{aligned}({\underline {\underline {T}}}\otimes {\underline {\underline {G}}})_{\ \ kl}^{ij}&=A_{\ \ kl}^{ij}\\&=T^{ij}G_{kl}\end{aligned}}}$

Тензорскиот производ може да се напише како:

${\displaystyle {\begin{aligned}{T}\otimes {G}&=T^{ij}\;(\delta _{i}\otimes \delta _{j})\otimes G_{kl}\;(\delta ^{k}\otimes \delta ^{l})\\&=T^{ij}G_{kl}\;(\delta _{i}\otimes \delta _{j}\otimes \delta ^{k}\otimes \delta ^{l})\\&={A}\end{aligned}}}$

каде што:

• ${\displaystyle \delta _{n}\,}$ е Кронекерова делта

Ако ${\displaystyle M\,}$ и ${\displaystyle G\,}$ се два коваријантни тензори, тогаш нивниот тензорски производ е еднаков на:

${\displaystyle (F\otimes G)_{i_{1}i_{2}...i_{m+n}}=F_{i_{1}i_{2}...i_{m}}G_{i_{m+1}i_{m+2}i_{m+3}...i_{m+n}}.}$ .

Ова значи дека тензорскиот производ е еднаков на вообичаениот производ на поединечните компоненти на секој тензор.

Пример: нека ${\displaystyle U\,}$ биде тензор од типот (1,1) со компоненти ${\displaystyle U_{\beta }^{\alpha }\,}$ и нека ${\displaystyle V\,}$ е тензор од типот (1, 0) со компоненти ${\displaystyle V^{\gamma }\,}$. Тогаш:

${\displaystyle U_{\beta }^{\alpha }V^{\gamma }=(U\otimes V_{\beta }^{\alpha })^{\gamma }\,}$ и

${\displaystyle V^{\mu }U^{\nu }{}_{\sigma }=(V\otimes U)^{\mu \nu }{}_{\sigma }.}$ .

Тензорскиот производ ги зачувува сите индекси како што ги имаат поединечните фактори.

Тензорскиот производ на две матрици се нарекува и Кронекеров производ.

${\displaystyle U\otimes V={\begin{bmatrix}u_{1,1}V&u_{1,2}V&\cdots \\u_{2,1}V&u_{2,2}V\\\vdots &&\ddots \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{1,1}v_{1,1}&u_{1,1}v_{1,2}&\cdots &u_{1,2}v_{1,1}&u_{1,2}v_{1,2}&\cdots \\u_{1,1}v_{2,1}&u_{1,1}v_{2,2}&&u_{1,2}v_{2,1}&u_{1,2}v_{2,2}\\\vdots &&\ddots \\u_{2,1}v_{1,1}&u_{2,1}v_{1,2}\\u_{2,1}v_{2,1}&u_{2,1}v_{2,2}\\\vdots \end{bmatrix}}.}$

Тензорскиот производ на две матрици ${\displaystyle 2\times 2\,}$ е:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,1}&a_{2,2}\\\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1,1}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}&a_{1,2}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}\\&\\a_{2,1}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}&a_{2,2}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1,1}b_{1,1}&a_{1,1}b_{1,2}&a_{1,2}b_{1,1}&a_{1,2}b_{1,2}\\a_{1,1}b_{2,1}&a_{1,1}b_{2,2}&a_{1,2}b_{2,1}&a_{1,2}b_{2,2}\\a_{2,1}b_{1,1}&a_{2,1}b_{1,2}&a_{2,2}b_{1,1}&a_{2,2}b_{1,2}\\a_{2,1}b_{2,1}&a_{2,1}b_{2,2}&a_{2,2}b_{2,1}&a_{2,2}b_{2,2}\\\end{bmatrix}}.}$ .

Ако имаме две повеќелинеарни пресликувања ${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{k})\,}$ и ${\displaystyle g(x_{1},\dots ,x_{m})\,}$ нивниот тензорски производ е мултилинеарна функција:

${\displaystyle (f\otimes g)(x_{1},\dots ,x_{k+m})=f(x_{1},\dots ,x_{k})g(x_{k+1},\dots ,x_{k+m}).}$ .

• „Vector Space Tensor Product“ од Ерик В. Вајсштајн — MathWorld (англиски)

• Tenzorski produkt na PlanethMath Архивирано на 20 јуни 2010 г. Arhivirano 2010-06-20 na Wayback Machine. (англиски)
• Tenzorski produkt vektorskih prostorov Архивирано на 26 август 2011 г. Arhivirano 2011-08-26 na Wayback Machine. (англиски)
• Površine tenzorskega produkta Архивирано на 3 септември 2006 г. Arhivirano 2006-09-03 na Wayback Machine. (англиски)
• Tenzorske operacije (англиски)