Тетива

Тетива – линија што соединува две точки во елипса^[1]. Поопшто, тетива е отсечка која спојува две точки на затворена крива линија. Секанта е неограничено продолжување на тетива на двете страни, права чиј дел е тетива. Тетива која минува низ центарот на кружница е нејзин пречник. Секој пречник е тетива, но не секоја тетива е пречник.

Меѓу својствата на тетивите на кружници се и следниве:

1. тетивите се еквидистантни од центарот ако и само ако нивните должини се еднакви.
2. на еднакви тетиви им припаѓаат еднакви централни агли на кружницата.
3. тетива која минува низ центарот на кружница се нарекува пречник и таа е најдолгата тетива.
4. ако секантите на тетивите AB и CD се сечат во точка, тогаш нивните должини ја задоволуваат равенката AP•PB = CP•PD (теорема за степен на точка).

Средните точки на сет од паралелни тетиви на елипса се колинеарни.^[2]

Тетивите биле екстензивно користени во раниот развој на тригонометријата. Првата позната тригонометриска табела, составена од Хипарх, ја табелира вредноста на тетивната функција за секои 7,5 степени. Во вториот век од нашата ера, Птоломеј од Александрија составил пообемна табела на тетиви во својата книга за астрономијата, која ги давала вредностите за тетивите од ½ до 180 степени со стапка од половина степен.^[3]

Тетивната функција геометриски е дефинирана како што е покажано на сликата. Тетивата на некој агол е должината на тетивата меѓу две точки на единична кружница разделени за тој централен агол. Аголот θ се зема во позитивна насока и мора да лежи во интервалот 0 < θ ≤ π (во радијани). Тетивната функција може да се поврзе со модерната синусна функција, земајќи една од точките да биде (1,0), а другата точка да биде (cos θ, sin θ), и потоа користејќи ја Питагоровата теорема да се пресмета должината на тетивата:^[3]

${\displaystyle \mathrm {crd} \ \theta ={\sqrt {(1-\cos \theta )^{2}+\sin ^{2}\theta }}={\sqrt {2-2\cos \theta }}=2\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right).}$

Последниот чекор ја користи формулата за половина агол. Како што модерната тригонометрија е заснована на синусната функција, античката тригонометрија била заснована на тетивната функција. Се наведува дека Хипарх напишал 12 тома за тетивите, сите изгубени, па се претпоставува дека се имало големо познавање за нив. Тетивната функција задоволува многу идентитети аналогно на добро познатите модерни идентитити:

Име	Синусно засновано	Тетивно засновано
Питагорово	${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1\,}$	${\displaystyle \mathrm {crd} ^{2}\theta +\mathrm {crd} ^{2}(\pi -\theta )=4\,}$
Половина агол	${\displaystyle \sin {\frac {\theta }{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}\,}$	${\displaystyle \mathrm {crd} \ {\frac {\theta }{2}}=\pm {\sqrt {2-\mathrm {crd} (\pi -\theta )}}\,}$
Апотема (a)	${\displaystyle c=2{\sqrt {r^{2}-a^{2}}}}$	${\displaystyle c={\sqrt {D^{2}-4a^{2}}}}$
Агол (θ)	${\displaystyle c=2r\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)}$	${\displaystyle c={\frac {D}{2}}\mathrm {crd} \ \theta }$

Исто така постои и инверзна функција:^[4]

${\displaystyle \operatorname {acrd} (y)=2\arcsin \left({\frac {y}{2}}\right).}$

• Кружен отсечок
• Кружен исечок

„Тетива“ на Ризницата ?

• History of Trigonometry Outline
• Trigonometric functions Архивирано на 10 март 2017 г., focusing on history
• Chord (of a circle) With interactive animation