Точни тригонометриски вредности

Во математиката, вредностите на тригонометриските функции можат да се изразат приближно, како во ${\displaystyle \cos(\pi /4)\approx 0.707}$, или точно, како во ${\displaystyle \cos(\pi /4)={\sqrt {2}}/2}$. Додека тригонометриските таблици содржат многу приближни вредности, точните вредности за одредени агли може да се изразат со комбинација на аритметички операции и квадратни корени.

Тригонометриските функции на аглите кои се множители на 15°, 18° или 22,5° имаат едноставни алгебарски вредности. Овие вредности се наведени во следната табела за агли од 0° до 90°.^[1] За агли вон овој опсег, тригонометриските вредности може да се најдат со примена на еднаквостите на рефлексија и поместување. Во табелата подолу, ${\displaystyle \infty }$ значи сооднос 1:0. Овие вредности може да се сметаат и за недефинирани (види делење со нула).

Радијани	Степени	sin	cos	tan	cot	sec	csc
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0^{\circ }}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \infty }$
${\displaystyle {\frac {\pi }{12}}}$	${\displaystyle 15^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}$
${\displaystyle {\frac {\pi }{10}}}$	${\displaystyle 18^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}{5}}}$	${\displaystyle {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {50-10{\sqrt {5}}}}{5}}}$	${\displaystyle 1+{\sqrt {5}}}$
${\displaystyle {\frac {\pi }{8}}}$	${\displaystyle 22.5^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}-1}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}+1}$	${\displaystyle {\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}}$
${\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}$	${\displaystyle 30^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}}$	${\displaystyle 2}$
${\displaystyle {\frac {\pi }{5}}}$	${\displaystyle 36^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}}$	${\displaystyle {\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{5}}}$	${\displaystyle {\sqrt {5}}-1}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}{5}}}$
${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$	${\displaystyle 45^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
${\displaystyle {\frac {3\pi }{10}}}$	${\displaystyle 54^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{5}}}$	${\displaystyle {\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}{5}}}$	${\displaystyle {\sqrt {5}}-1}$
${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}$	${\displaystyle 60^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}}$
${\displaystyle {\frac {3\pi }{8}}}$	${\displaystyle 67.5^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}+1}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}-1}$	${\displaystyle {\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}}}$
${\displaystyle {\frac {2\pi }{5}}}$	${\displaystyle 72^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}}$	${\displaystyle {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}{5}}}$	${\displaystyle 1+{\sqrt {5}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {50-10{\sqrt {5}}}}{5}}}$
${\displaystyle {\frac {5\pi }{12}}}$	${\displaystyle 75^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}$
${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle 90^{\circ }}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle 1}$

Некои точни тригонометриски вредности, како на пример ${\displaystyle \sin(60^{\circ })={\sqrt {3}}/2}$, може да се изрази во смисла на комбинација од аритметички операции и квадратни корени. Таквите броеви се нарекуваат конструктибилни, бидејќи една должина може да се конструира со шестар и линијар од друга, ако и само ако односот помеѓу двете должини е таков број.^[2] Сепак, некои тригонометриски вредности, како на пример ${\displaystyle \cos(20^{\circ })}$, докажано е дека не се конструктибилни.

Синусот и косинусот на агол се конструктибилни ако и само ако аголот е конструктибилен. Ако аголот е рационален множител на π радијани, дали е конструктибилен или не, може да се одреди на следниов начин. Аголот нека биде ${\displaystyle a\pi /b}$ радијани, каде што a и b се заемно прости цели броеви. Тогаш аголот е конструктибилен ако и само ако првичната факторизација на именителот, b, се состои од кој било број на прости Фермаови броеви, секој со експонент 1, помножено со кој било степен на двојка.^[3] На пример, ${\displaystyle 15^{\circ }}$ и ${\displaystyle 24^{\circ }}$ се конструктибилни бидејќи се еквивалентни на ${\displaystyle \pi /12}$ и ${\displaystyle 2\pi /15}$ радијани соодветно. 12 е производ од 3 и 4, а 3 е прост Фермаов број и 4=2*2 е производ на прост Фермаов број и степен на двојка, а 15 е производ на Фермаовите прости броеви 3 и 5. Од друга страна, ${\displaystyle 20^{\circ }}$ не е конструктибилен затоа што одговара на именителот 9 = 3², а простиот број на Ферма не може да се подигне на степен поголем од еден. Друг пример, ${\displaystyle (360/7)^{\circ }}$ не е конструктибилен, бидејќи именителот 7 не е прост Фермаов број.^[2]

Вредностите на тригонометриските броеви може да се изведат преку комбинација на методи. Вредностите на синус и косинус од 30, 45 и 60 степени се добиени со анализа на триаголниците 30-60-90 и 90-45-45. Ако аголот е изразен во радијани како ${\displaystyle a\pi /b}$, ова го опфаќа случајот кога a е 1, а b е 2, 3, 4 или 6.

Ако именителот, b, се помножи со дополнителни множители на 2, синусот и косинусот може да се изведат со формулите за половина агол. На пример, 22,5° (π /8 rad) е половина од 45°, така што неговиот синус и косинус се:

${\displaystyle \sin(22.5^{\circ })={\sqrt {\frac {1-\cos(45^{\circ })}{2}}}={\sqrt {\frac {1-{\frac {\sqrt {2}}{2}}}{2}}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}}$

${\displaystyle \cos(22.5^{\circ })={\sqrt {\frac {1+\cos(45^{\circ })}{2}}}={\sqrt {\frac {1+{\frac {\sqrt {2}}{2}}}{2}}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}}$

Повторената примена на формулата за половина агол на косинус доведува до вгнездени квадратни корени кои продолжуваат во шема каде што секоја примена додава ${\displaystyle {\sqrt {2+\cdots }}}$ на броителот и именителот е 2. На пример:

${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{16}}\right)={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\qquad \cos \left({\frac {\pi }{32}}\right)={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}{2}}}$

${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{12}}\right)={\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}{2}}\qquad \cos \left({\frac {\pi }{24}}\right)={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}{2}}}$

Случаите кога именителот, b, е 5 пати поголем од степенот 2, може да започнат од следното изведување на ${\displaystyle \sin(18^{\circ })}$,^[4] со оглед дека ${\displaystyle 18^{\circ }=\pi /10}$ радијани. Изведувањето ги користи формулите за повеќекратни агли за синус и косинус. Со формулата за двоен агол за синус:

${\displaystyle \sin(36^{\circ })=2\sin(18^{\circ })\cos(18^{\circ })}$

Според формулата за троен агол за косинус:

${\displaystyle \cos(54^{\circ })=\cos ^{3}(18^{\circ })-3\sin ^{2}(18^{\circ })\cos(18^{\circ })=\cos(18^{\circ })(1-4\sin ^{2}(18^{\circ }))}$

Бидејќи sin(36°) = cos(54°), ги изедначуваме овие два изрази и го поништуваме факторот cos(18°):

${\displaystyle 2\sin(18^{\circ })=1-4\sin ^{2}(18^{\circ })}$

Оваа квадратна равенка има само еден позитивен корен:

${\displaystyle \sin(18^{\circ })={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}}$

Синусите и косинусите на многу други агли може да се изведат користејќи ги резултатите опишани погоре и комбинација од формулите за повеќекратни агли и формулите за збир и разлика. На пример, за случајот кога b е 15 пати поголема од степенот 2, бидејќи ${\displaystyle 24^{\circ }=60^{\circ }-36^{\circ }}$, неговиот косинус може да се изведе со формулата за разлика од косинус:

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(24^{\circ })&=\cos(60^{\circ })\cos(36^{\circ })+\sin(60^{\circ })\sin(36^{\circ })\\&={\frac {1}{2}}{\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}{\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}\\&={\frac {1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}}{8}}\end{aligned}}}$

Бидејќи 17 е прост Фермаов број, правилен 17-аголник е конструктибилен, што значи дека синусите и косинусите на аглите како што се ${\displaystyle 2\pi /17}$ радијани може да се изразат со квадратни корени. Конкретно, во 1796 година, Карл Фридрих Гаус покажал дека:^{[5] [6]}

${\displaystyle \cos \left({\frac {2\pi }{17}}\right)={\frac {-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {170+38{\sqrt {17}}}}}}}{16}}}$

Оттука може да се изведат синусите и косинусите на другите конструктибилни агли со именител делив со 17.

Ирационален број што може да се изрази како синус или косинус на рационален повеќекратник на π радијани се нарекува тригонометриски број. ^{:ch. 5}Бидејќи ${\displaystyle \sin(x)=\cos(x-\pi /2),}$ случајот на синус може да се изостави од оваа дефиниција. Затоа секој тригонометриски број може да се запише како ${\displaystyle \cos(2\pi k/n)}$, каде k и n се цели броеви. Овој број може да се замисли како реален дел од комплексниот број ${\displaystyle \cos(2\pi k/n)+i\sin(2\pi k/n)}$. Формулата на Де Моавр покажува дека броевите од овој облик се корени на единицата:

${\displaystyle \left(\cos \left({\frac {2\pi k}{n}}\right)+i\sin \left({\frac {2\pi k}{n}}\right)\right)^{n}=\cos(2\pi k)+i\sin(2\pi k)=1}$

Бидејќи коренот на единицата е корен од полиномот x ⁿ − 1, тој е алгебарски. Бидејќи тригонометрискиот број е просекот на коренот на единицата и неговиот комплексен конјугат, а алгебарските броеви се затворени со аритметички операции, секој тригонометриски број е алгебарски.

Реалниот дел од кој било корен на единица е тригонометриски, освен ако не е рационален. Според Нивеновата теорема, единствените рационални броеви кои можат да се изразат како реален дел од коренот на единица се 0, 1, −1, 1/2 и −1/2.^[7]

Exact values of common angles^[1][8]

Радијан	Степен	sin	cos	tan	cot	sec	csc
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0^{\circ }}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \infty }$
${\displaystyle {\frac {\pi }{24}}}$	${\displaystyle 7.5^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {6}}-{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}-2}$	${\displaystyle {\sqrt {6}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}+2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}{\sqrt {8-3{\sqrt {6}}-{\sqrt {2(49-20{\sqrt {6}})}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}{\sqrt {8+3{\sqrt {6}}+{\sqrt {2(49+20{\sqrt {6}})}}}}}$
${\displaystyle {\frac {\pi }{12}}}$	${\displaystyle 15^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)}$	${\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)}$
${\displaystyle {\frac {\pi }{10}}}$	${\displaystyle 18^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}{5}}}$	${\displaystyle {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {50-10{\sqrt {5}}}}{5}}}$	${\displaystyle 1+{\sqrt {5}}}$
${\displaystyle {\frac {\pi }{8}}}$	${\displaystyle 22.5^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}-1}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}+1}$	${\displaystyle {\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}}$
${\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}$	${\displaystyle 30^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}}$	${\displaystyle 2}$
${\displaystyle {\frac {\pi }{5}}}$	${\displaystyle 36^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}}$	${\displaystyle {\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{5}}}$	${\displaystyle {\sqrt {5}}-1}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}{5}}}$
${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$	${\displaystyle 45^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
${\displaystyle {\frac {3\pi }{10}}}$	${\displaystyle 54^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{5}}}$	${\displaystyle {\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}{5}}}$	${\displaystyle {\sqrt {5}}-1}$
${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}$	${\displaystyle 60^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}}$
${\displaystyle {\frac {3\pi }{8}}}$	${\displaystyle 67.5^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}+1}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}-1}$	${\displaystyle {\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}}}$
${\displaystyle {\frac {2\pi }{5}}}$	${\displaystyle 72^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}}$	${\displaystyle {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}{5}}}$	${\displaystyle 1+{\sqrt {5}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {50-10{\sqrt {5}}}}{5}}}$
${\displaystyle {\frac {5\pi }{12}}}$	${\displaystyle 75^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)}$	${\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)}$
${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle 90^{\circ }}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle {\frac {7\pi }{12}}}$	${\displaystyle 105^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)}$	${\displaystyle -2-{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle -2+{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {2}}(1+{\sqrt {3}})}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)}$
${\displaystyle {\frac {2\pi }{3}}}$	${\displaystyle 120^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{3}}}$	${\displaystyle -2}$	${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}}$
${\displaystyle {\frac {3\pi }{4}}}$	${\displaystyle 135^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
${\displaystyle {\frac {5\pi }{6}}}$	${\displaystyle 150^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{3}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle -{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}}$	${\displaystyle 2}$
${\displaystyle {\frac {11\pi }{12}}}$	${\displaystyle 165^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)}$	${\displaystyle -2-{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle -2+{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)}$
${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle 180^{\circ }}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle \infty }$
${\displaystyle {\frac {13\pi }{12}}}$	${\displaystyle 195^{\circ }}$	${\displaystyle -{\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle -{\frac {{\sqrt {3}}+1}{2{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)}$	${\displaystyle -{\sqrt {2}}(1+{\sqrt {3}})}$
${\displaystyle {\frac {7\pi }{6}}}$	${\displaystyle 210^{\circ }}$	${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle -{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}}$	${\displaystyle -2}$
${\displaystyle {\frac {5\pi }{4}}}$	${\displaystyle 225^{\circ }}$	${\displaystyle -{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle -{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle -{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {2}}}$
${\displaystyle {\frac {4\pi }{3}}}$	${\displaystyle 240^{\circ }}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$	${\displaystyle -2}$	${\displaystyle -{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}}$
${\displaystyle {\frac {17\pi }{12}}}$	${\displaystyle 255^{\circ }}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)}$	${\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)}$	${\displaystyle -{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)}$
${\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}}$	${\displaystyle 270^{\circ }}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle -1}$
${\displaystyle {\frac {19\pi }{12}}}$	${\displaystyle 285^{\circ }}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)}$	${\displaystyle -2-{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle -2+{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)}$	${\displaystyle -{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)}$
${\displaystyle {\frac {5\pi }{3}}}$	${\displaystyle 300^{\circ }}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{3}}}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle -{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}}$
${\displaystyle {\frac {7\pi }{4}}}$	${\displaystyle 315^{\circ }}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {2}}}$
${\displaystyle {\frac {11\pi }{6}}}$	${\displaystyle 330^{\circ }}$	${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{3}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}}$	${\displaystyle -2}$
${\displaystyle {\frac {23\pi }{12}}}$	${\displaystyle 345^{\circ }}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)}$	${\displaystyle -2+{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle -2-{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)}$	${\displaystyle -{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)}$

• Список на тригонометриски еднаквости

• Lehmer, D. H. (1933). „A note on trigonometric algebraic numbers“. American Mathematical Monthly. 40 (3): 165–166. doi:10.2307/2301023. JSTOR 2301023.
• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., уред. (1972). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0.
• Watkins, William; Zeitlin, Joel (1993). „The minimal polynomial of cos(2*pi/n)“. American Mathematical Monthly. 100 (5): 471–474. doi:10.2307/2324301. JSTOR 2324301.
• Girstmair, Kurt (1997). „Some linear relations between values of trigonometric functions at k*pi/n“ (PDF). Acta Arithmetica. 81 (4): 387–498. doi:10.4064/aa-81-4-387-398. MR 1472818.
• Conway, John H.; Radin, Charles; Sadun, Lorenzo (1999). „On angles whose squared trigonometric functions are rational“. Discrete & Computational Geometry. 22 (3): 321–332. arXiv:math-ph/9812019. doi:10.1007/PL00009463. MR 1706614. S2CID 563915.
• Bracken, Paul; Cizek, Jiri (2002). „evaluation of quanum mechanical perturbative sums in terms of quadratic surds and their use in the approximation of zeta(3)/pi^3“. International Journal of Quantum Chemistry: 42–53. doi:10.1002/qua.1803.
• Servi, L. D. (2003). „Nested square roots of 2“. American Mathematical Monthly. 110 (4): 326–330. doi:10.2307/3647881. JSTOR 3647881.
• Beslin, Scott; de Angelis, Valerio (2004). „The minimal polynomials of sin(2*pi/p) and cos(2*pi/p)“. Mathematics Magazine. 77 (2): 146–149. doi:10.1080/0025570X.2004.11953242. JSTOR 3219105. S2CID 118497912.
• Tangsupphathawat, Pinthira; Laohakosol, Vichian (2016). „Minimal polynomials of algebraic cosine values at rational multiples of pi“. Journal of Integer Sequences. 19: 16.2.8.

Предлошка:Ирационален број