Трансверзала (геометрија)Нека a и b се две прави во рамнина. Трета права која ги пресекува a и b во две посебни точки се вика трансверзала (или пресечка) на a и b.
Агли на трансверзалаСо трансверзала се формираат 8 агли.
Кога правите се паралелни, трансверзала дава повеќе пара на складни и суплементни агли. Некои од овие парови имаат свои имиња.[3] Од ова, следува дека аглите формирани со трансверзала низ паралелни прави имаат значително важни особини. Од друга страна, трансверзала низ непаралелни прави нема никакви посебни особини во елементарна математика, па затоа честопати со самиот збор трансверзала се претпоставува дека пресечните прави се паралелни.[4]
Согласни аглиСогласни агли ги викаме оние парови аглите кои:
Во нашиов пример, согласни агли се следниве парови агли:
Кога правите не се паралелни, овие парови немаат меѓусебна врска. Основна претпоставка (премиса): Правите се паралелни ако и само ако кој било пар согласни агли формирани од која било трансверзала се складни, т.е. се со иста големина. Ова следува од Поставката за паралелност користејќи ги особините на накрсни и суплементни агли. Исто така доколку аглите од еден пар согласни агли се складни, тогаш и аглите од сите други парови се складни. Значи со паралелни прави: α=α1, β=β1, γ=γ1 и δ=δ1.
Наизменични аглиНаизменични агли ги викаме оние парови аглите кои:
Во нашиов пример, наизменични агли се следниве парови агли:
Кога правите не се паралелни, овие парови немаат меѓусебна врска. Основна претпоставка: Две прави се паралелни ако и само ако кој било пар наизменични агли формирани од која било трансверзала се складни, т.е. се со иста големина. Ова следува од Поставката за паралелност користејќи ги особините на накрсни и суплементни агли. Исто така доколку аглите од еден пар наизменични агли се складни, тогаш и аглите од сите други парови се складни. Значи со паралелни прави: α=γ1, β=δ1, γ=α1 и δ=β1.
Спротивни аглиСпротивни агли ги викаме оние парови аглите кои:
Во нашиов пример, спротивни агли се следниве парови агли:
Кога правите не се паралелни, овие парови немаат меѓусебна врска. Основна претпоставка: Две прави се паралелни ако и само ако кој било пар спротиви агли формирани од која било трансверзала се суплементни, т.е. нивниот збир е 180°. Оваа претпоставка всушност е Поставката за паралелност. Значи, со паралелни прави: α+δ1=180° и β+γ1=180°. Други одлики на трансверзалиАко три прави во општа положба формираат триаголник, тогаш шести отсечки формирани од трансверзала која минува низ нив ја задоволуваат Теоремата на Менелаус. Поврзани теоремиПоставката 5 на Евклид е Поставката за паралелност и вели: Ако збирот на големините на две внатрешни ненапоредни агли кои лежат на истата страна на една трансверзала се собираат до помалку од два прави агли, тогаш правите некаде се сечат.[7] Претпоставката 27 на Евклид е следната: Ако трансверзала пресекува две прави така на внатрешните наизменични агли се складни, правите се паралелни. Доказот е со доведување до противречност: Ако правите не се паралелни, тогаш се сечат и се формира триаголник. Во тој случај, еден од еднаквите наизменични агли е надворешен агол на триаголникот и е еднаков на спротивниот внатрешен агол на триаголник. Оваа е противречност на Претпоставката 16 која вели дека надворешен агол на триаголник секогаш е поголем од спротивниот внатрешен агол.[8][9] Претпоставката 28 на Евклид го обопштува овој резултат на два начини. Прво, ако трансверзала минува низ две прави така што согласните агли се складни, правите се паралелни. Второ, ако трансверзала минува низ две прави така што соседни агли, т.е. внатрешните агли на истата страна од трансверзала се суплементни, правите се паралелни. Ова следува од фактот дека накрсни агли се складни (Претпоставка 15) и напоредните агли на една права се суплементни (Претпоставка 13). Како што забележи Proclus, Евклид даде само три од можните шест вакви критериуми за паралелни прави.[10][11] Претпоставката 29 е спротивниот исказ на претходните две претпоставки. Прво, ако трансверзала пресекува две паралелни прави, тогаш наизменичните внатрешни агли се складни. Доказот е со доведување до противречност: Ако аглите не се складни, тогаш еден е поголем од другиот. Од ова следува дека суплементниот агол на едниот е помал од суплементниот агол на другиот и има два соседни агли, т.е. внатрешните агли на истата страна од трансверзала се суплементни, кои се собираат до помалку од два прави агли, што е противречност на Поставката 5 (Поставката за паралелелност). Претпоставката продолжува со исказ дека со трансверзала на паралелни прави и согласните агли се складни. Доказот е аналоген.[12][13] Се гледа дека доказите на Евклид значително ја користат Поставката за паралелност (Поставка 5). Меѓутоа, современата геометрија ја користи Аксиомата на Плејфер (Playfair's axiom) која вели „За дадена права m и точка А која не лежи на правата, постои една единствена права која минува низ А и е паралелна со m“. На пример, за да се докаже Претпоставката 29 користејќи ја аксиомата на Плејфер исто така претпоставуваме дека на две паралелни прави, наизменичните внатрешни агли на трансверзалата не се складни. Конструираме трета права која минува низ пресечната точка А на првата права со трансверзалата таква што наизменичните внатрешни агли на третата и втората се складни. Значи и третата права е паралелна со втората права, а првата и третата права минуваат низ А што е противречност на единственоста на таква права од Аксиомата[14][15] Литература
Поврзани темиНадворешни врски
|
Portal di Ensiklopedia Dunia
