Фазна брзина

Фазна брзина на бранот е брзината со која фазата на бранот се шири во просторот. Ова е брзината со која фазата на која било честотна компонента патува. За таква компонента, секоја дадена фаза на бранот (на пример врвот на бранот) , ќе изгледа дека патува со фазна брзина. Фазната брзина е дадена во однос на брановата должина λ (ламбда) и временскиот период Т како:

${\displaystyle v_{\mathrm {p} }={\frac {\lambda }{T}}.}$

Еквивалентно, во однос на аголната честота на бранот ω, која ја одредува аголната промена во единица време и бројот на аголните бранови k, што ја претставува пропорционалноста помеѓу аголната честота ω и линеарната брзина (брзина на размножување) νp,

${\displaystyle v_{\mathrm {p} }={\frac {\omega }{k}}.}$

За да се разбере од каде доаѓа оваа равенка, земете го предвид и основниот синусен бран, A cos (kx-ωt). По времето t, изворот произведува ωt / 2π = ft осцилации. По истото време, почетниот бран се шири од изворот низ просторот до растојанието x за да одговара на ист број на осцилации, kx = ωt.

Така, брзината на пропагација v е v = x / t = ω / k.

Бранот се шири побрзо кога повисокочестотните осцилации се распоредени помалку густо во просторот. Формално, Φ = kx-ωt е фазата. Бидејќи ω = -dΦ / dt и k = + dΦ / dx, брзината на бранот е v = dx / dt = ω / k.

Бидејќи синусниот бран не може да пренесе никакви информации, се бара промена на амплитудата или честотата, позната како модулација. Со комбинирање на два синуса со малку различни честоти и бранови должини,

${\displaystyle \cos[(k-\Delta k)x-(\omega -\Delta \omega )t]\;+\;\cos[(k+\Delta k)x-(\omega +\Delta \omega )t]=2\;\cos(\Delta kx-\Delta \omega t)\;\cos(kx-\omega t),}$

амплитудата станува синусоида со фазна брзина Δω / Δk. Тоа е оваа модулација која ја претставува содржината на сигналот. Бидејќи секој амплитуден плик содржи група на внатрешни бранови, оваа брзина обично се нарекува групна брзина, vg.

Во даден медиум, честотата е некоја функција ω (k) на бројот на брановите, па во основа фазната брзина vp = ω / k и групната брзина vg = dω / dk зависат од честотата и од медиумот. Односот помеѓу брзината на светлината c и фазната брзина vp е познат како показател на прекршување, n = c / vp = ck / ω.

Земајќи го дериватот од ω = ck / n во однос на k, ја даваме групната брзина,

${\displaystyle {\frac {{\text{d}}\omega }{{\text{d}}k}}={\frac {c}{n}}-{\frac {ck}{n^{2}}}\cdot {\frac {{\text{d}}n}{{\text{d}}k}}~.}$

Истакнувајќи дека c / n = vp, покажува дека брзината на групната брзина е еднаква на брзината на фазата само кога показателот на прекршување е константа dn / dk = 0, а во овој случај брзината на фазата и групната брзина се независни од честотата, ω / k = dω / dk = c / n.

Во спротивно, и фазната брзина и групната брзина се разликуваат од честотата, а медиумот се нарекува дисперзивен; релацијата ω = ω (k) е позната како дисперзија на медиумот.

Фазната брзина на електромагнетното зрачење може - под одредени околности (на пример, аномална дисперзија) - да ја надмине брзината на светлината во вакуум, но тоа не укажува на било как а суперлуминална информација или трансфер на енергија. Теоретски ова било опишано од физичарите како Арнолд Сомерфелд и Леон Бриллуин.