Чебишово неравенство

Чебишово неравенство се изучува во теоријата на веројатност. Оваа теорема на рускиот математичар Пафнутиј Чебишов покажува дека веројатноста една случајна променлива ${\displaystyle X}$ со средна вредност ${\displaystyle \eta }$ и варијанса ${\displaystyle {\sigma }^{2}}$ да биде надвор од произволен интервал ${\displaystyle (\eta -\epsilon ,\eta +\epsilon )}$ е произволно мала ако односот ${\displaystyle {\sigma }/{\epsilon }}$ е доволно мал.

Нека ${\displaystyle X}$ e случајна променлива со средна вредност ${\displaystyle \eta }$ и варијанса ${\displaystyle {\sigma }^{2}}$. Тогаш за секое ${\displaystyle \epsilon >0}$ важи неравенството:

${\displaystyle P\{|X-\eta |\geq \epsilon \}\leq {\frac {{\sigma }^{2}}{{\epsilon }^{2}}}}$

Нека со ${\displaystyle f(x)}$ ја означиме функцијата на густина на веројатност на случајната променлива ${\displaystyle X}$. Тогаш доказот на теоремата се заснова на следниот факт:

${\displaystyle P\{|X-\eta |\geq \epsilon \}=\int _{-\infty }^{-\eta -\epsilon }f(x)\,dx+\int _{\eta +\epsilon }^{\infty }f(x)\,dx=\int _{|x-\eta |\geq \epsilon }f(x)\,dx}$

Навистина,

${\displaystyle {\sigma }^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\eta )^{2}f(x)\,dx\geq \int _{|x-\eta |\geq \epsilon }(x-\eta )^{2}f(x)\,dx\geq {\epsilon }^{2}\int _{|x-\eta |\geq \epsilon }f(x)\,dx}$

од што следува неравенството со оглед на тоа што последниот интеграл е еднаков на ${\displaystyle P\{|X-\eta |\geq \epsilon \}}$.

• Пафнутиј Чебишов
• Неравенство на Марков
• Бјенемеово неравенство
• Љапуново неравенство

• A. Papoulis, S. Unnikrishna Pillai, "Probability, Random Variables and Stochastic Processes", Fourth edition, McGraw-Hill, 2002.