ഡയൊഫന്റൈൻ സമവാക്യം

ഇംഗ്ലീഷ് വിലാസം

https://ml.wikipedia.org/wiki/Diophantine_equation

വശങ്ങളുടെ നീളങ്ങളെല്ലാം പൂർണ്ണസംഖ്യകളായ മട്ടത്രികോണങ്ങൾ കണ്ടുപിടിക്കുന്നത് $a 2 + b 2 = c 2$ എന്ന ഡയൊഫന്റൈൻ സമവാക്യം നിർദ്ധരിക്കുന്നതിന് തുല്യമാണ്.

പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ മാത്രം നിർദ്ധാരണമായി ആവശ്യപ്പെടുന്ന ബഹുപദ സമവാക്യങ്ങളെയാണ് ഗണിതത്തിൽ ഡയൊഫന്റൈൻ സമവാക്യങ്ങൾ (Diophantine equation) എന്ന് വിളിക്കുന്നത്. ഈ സമവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ ഗതിയിൽ രണ്ടോ അധികമോ ചരങ്ങളിലുള്ള ബഹുപദ സമവാക്യങ്ങളാണ്. ഓരോ പദവും ചരങ്ങളിലൊന്നിന്റെ കൃതി 1 ആയ ഏകപദമായ, പദങ്ങളുടെ തുകയെ ഒരു സ്ഥിരാങ്കവുമായി തുല്യനം ചെയ്യുന്ന തരത്തിലുള്ള ഡയൊഫന്റൈൻ സമവാക്യങ്ങളെ രേഖീയ ഡയൊഫന്റൈൻ സമവാക്യങ്ങൾ (linear Diophantine equation) എന്നു വിളിക്കുന്നു. ചരങ്ങളുടെ ഘാതങ്ങൾ കണ്ടുപിടിക്കേണ്ട സമവാക്യങ്ങളെ ഘാതീയ ഡയൊഫന്റൈൻ സമവാക്യങ്ങൾ (exponential Diophantine equation) എന്നു വിളിക്കുന്നു.

ചരങ്ങളെക്കാൾ കുറവ് സമവാക്യങ്ങളുള്ളതും എല്ലാ സമവാക്യങ്ങൾക്കും പരിഹാരമായി വരുന്ന പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുമായ പ്രശ്നങ്ങളാണ് ഡയൊഫന്റൈൻ പ്രശ്നങ്ങൾ (Diophantine problems). സാങ്കേതികമായ ഭാഷയിൽ പറഞ്ഞാൽ ഒരു ബീജീയ വക്രമോ ബീജീയ ഉപരിതലമോ അതിലും സാമാന്യമായ ഒരു ഘടനയോ നിർവചിച്ച് അതിനുമേലുള്ള ജാലികാബിന്ദുക്കളെ കണ്ടുപിടിക്കുന്നു.

മൂന്നാം നൂറ്റാണ്ടിലെ ഗ്രീക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായിരുന്ന അലക്സാണ്ട്രിയയിലെ ഡയൊഫാന്റസിന്റെ പേരിലാണ് ഈ സമവാക്യങ്ങൾ അറിയപ്പെടുന്നത്. ഇത്തരം സമവാക്യങ്ങളെക്കുറിച്ച് പഠിച്ച ഡയൊഫാന്റസാണ് ആദ്യമായി ബീജഗണിതത്തിൽ ചിഹ്നങ്ങളുപയോഗിച്ചത്. അദ്ദേഹം ആരംഭിച്ച ഡയൊഫന്റൈൻ പ്രശ്നങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനശാഖ ഇന്ന് ഡയൊഫന്റൈൻ അനാലിസിസ് എന്നറിയപ്പെടുന്നു.

പ്രഹേളികകളായി കണക്കാക്കപ്പെട്ടിരുന്ന ചില ഡയൊഫന്റൈൻ പ്രശ്നങ്ങൾക്ക് വളരെക്കാലത്തെ ചരിത്രമുണ്ടെങ്കിലും ഡയൊഫൈന്റൈൻ സമവാക്യങ്ങളുടെ പൊതുസിദ്ധാന്തം ദ്വിമാന രൂപങ്ങൾക്കപ്പുറത്തേക്ക് വികസിച്ചത് ഇരുപതാം നൂറ്റാണ്ടിൽ മാത്രമാണ്.

ഉദാഹരണങ്ങൾ

താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ഡയൊഫന്റൈൻ സമവാക്യങ്ങളിൽ $w$ , $x$ , $y$ , $z$ എന്നിവ കണ്ടുപിടിക്കേണ്ട വിലകളും മറ്റുള്ളവ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുമാണ്.

$ax + by = 1$	ഇതൊരു രേഖീയ ഡയൊഫന്റൈൻ സമവാക്യമാണ്. $a$ , $b$ എന്നിവയുടെ ഉസാഘ 1 ആകുമ്പോൾ ഈ സമവാക്യത്തിന് നിർദ്ധാരണമുണ്ടെന്ന് ബെസു അനന്യത പറയുന്നു, ഇത് യൂക്ലിഡിന്റെ അൽഗൊരിതം ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടുപിടിക്കാം.
$w 3 + x 3 = y 3 + z 3$	ധനസംഖ്യകളിലെ ഏറ്റവും ചെറിയ (തുച്ഛമല്ലാത്ത) പരിഹാരം 12³ + 1³ = 9³ + 10³ = 1729 ആണ്. ഈ പ്രത്യേകതയുള്ളതിനാൽ 1729 ടാക്ക്സികാബ് സംഖ്യ അഥവാ രാമാനുജൻ സംഖ്യ എന്നറിയപ്പെടുന്നു.^[1] ഈ സമവാക്യത്തിന്റെ നിർദ്ധാരണങ്ങളുടെ എണ്ണം അനന്തമാണ്.^[2]
$x n + y n = z n$	$n$ = 2 ആകുമ്പോൾ $(x, y, z)$ ന് അനന്തം നിർദ്ധാരണങ്ങളുണ്ട്: ഇവ പൈതഗോറിയൻ ത്രയങ്ങളാണ്. $n$ ന്റെ ഇതിൽ കൂടിയ വിലകൾക്ക് നിർദ്ധാരണമൊന്നുമില്ലെന്ന് ഫെർമയുടെ അവസാന സിദ്ധാന്തം പറയുന്നു (ആൻഡ്രൂ വൈൽസ് 1995-ൽ ഇത് തെളിയിച്ചു^[3]).
$x 2 - ny 2 = \pm1$	ഇത് പെൽ സമവാക്യമാണ്. ഇംഗ്ലീഷ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ജോൺ പെല്ലിന്റെ പേരിൽ അറിയപ്പെടുന്നെങ്കിലും അതിനുമുമ്പ് ഏഴാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ബ്രഹ്മഗുപ്തനും പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ഫെർമയും ഇത്തരം സമവാക്യങ്ങളെക്കുറിച്ച് പഠിച്ചിരുന്നു.
$.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠4/n⁠ = ⁠1/x⁠ + ⁠1/y⁠ + ⁠1/z⁠$	ഈ സമവാക്യത്തിന് $n$ ≥ 2 ആകുമ്പോഴൊക്കെ $x$ , $y$ , $z$ എന്നിവയെല്ലാം പൂർണ്ണസംഖ്യകളാകുന്ന നിർദ്ധാരണമുണ്ടെന്ന് എർദൊഷ്-സ്ട്രൗസ് അനുമാനം പറയുന്നു . ബഹുപദരൂപത്തിൽ ഇതിനെ $4 xyz = yzn + xzn + xyn = n (yz + xz + xy)$ എന്നും എഴുതാം.
$x 4 + y 4 + z 4 = w 4$	ഇതിന് നിർദ്ധാരണങ്ങളൊന്നുമില്ലെന്ന് ഓയ്ലർ തെറ്റായി അനുമാനിച്ചു. എന്നാൽ അനന്തം നിർദ്ധാരണങ്ങളുണ്ടെന്നു എൽകീസ് തെളിയിക്കുകയും കമ്പ്യൂട്ടറിന്റെ സഹായത്തോടെ ഫ്രൈ ഏറ്റവും ചെറിയ തുച്ഛമല്ലാത്ത പരിഹാരം കണ്ടുപിടിക്കുകയും ചെയ്തു.^[4]