ഡിസ്ക് (ഗണിതശാസ്ത്രം)

ഇംഗ്ലീഷ് വിലാസം

https://ml.wikipedia.org/wiki/Disk_(mathematics)

ജ്യാമിതിയിൽ, ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ഉള്ളിലുള്ള ആകെ പ്രദേശമാണ് ഡിസ്ക് എന്ന് അറിയപ്പെടുന്നത്. ഒരു ഡിസ്കിന്റെ അതിർത്തിയിൽ വൃത്തം ഉൾക്കൊള്ളുന്നുവെങ്കിൽ അത് ക്ലോസ്ഡ് ആണെന്ന് പറയുന്നു, അല്ലെങ്കിൽ ഓപ്പൺ എന്നും.^[1] ജ്യാമിതി, കാൽക്കുലസ്, ടോപ്പോളജി എന്നിവയുൾപ്പെടെ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ വിവിധ ശാഖകളിൽ ഡിസ്ക് എന്ന ആശയം ഉപയോഗിക്കുന്നു.^[2]

കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റുകളിൽ, കേന്ദ്രവും (a, b), R ആരവും ഉള്ള ഡിസ്ക് ${\displaystyle (a,b)}$ താഴെ നൽകിയിരിക്കുന്ന സൂത്രവാക്യത്തിൽ സൂൂചിപ്പിക്കാം: ^[3]

${\displaystyle D=\{(x,y)\in {\mathbb {R} ^{2}}:(x-a)^{2}+(y-b)^{2}<R^{2}\}}$

അതേ കേന്ദ്രവും, ആരവും വരുന്ന ക്ലോസ്ഡ് ഡിസ്ക്

${\displaystyle {\overline {D}}=\{(x,y)\in {\mathbb {R} ^{2}}:(x-a)^{2}+(y-b)^{2}\leq R^{2}\}.}$

ഒരു ഡിസ്കിന്റെ ചില പ്രധാന സവിശേഷതകൾ കണ്ടെത്തുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ ഇവയാണ്:

• ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം: A = πr² എന്ന സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ചാണ് ഒരു ക്ലോസ്സ്ഡ് അല്ലെങ്കിൽ ഓപ്പൺ ഡിസ്കിൻ്റെ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുന്നത്, ഇവിടെ r എന്നത് ഡിസ്കിന്റെ ആരവും, π എന്നത് 3.14 ന് ഏകദേശം തുല്യമായ ഒരു ഗണിത സ്ഥിരാങ്കവുമാണ്.^[4]

• ചുറ്റളവ്: C = 2πr എന്ന സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ചാണ് ഒരു ഡിസ്കിന്റെ ചുറ്റളവ് കണക്കാക്കുന്നത്, ഇതിൽ r എന്നത് ഡിസ്കിന്റെ ആരവും π എന്നത് 3.14 ന് ഏകദേശം തുല്യമായ ഒരു ഗണിത സ്ഥിരാങ്കവുമാണ്.^[2]

• വ്യാസം: ഒരു ഡിസ്കിന്റെ വ്യാസം അതിന്റെ മധ്യത്തിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഡിസ്കിന് കുറുകെയുള്ള ദൂരമാണ്. ഇത് ഡിസ്കിന്റെ ആരം അല്ലെങ്കിൽ വ്യാസാർദ്ധത്തിന്റെ ഇരട്ടിയായി കണക്കാക്കുന്നു, അതായത്, D = 2r.^[2]

• ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം: ഒരു ഡിസ്കിന്റെ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം അതിന്റെ മുകളിലും താഴെയുമുള്ള മുഖങ്ങളുടെ ഭാഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയാണ്, ഇത് SA = 2πr² ആണ്.^[2]

• വോളിയം: ഒരു ഡിസ്കിന്റെ വോളിയം എന്നത് ഡിസ്ക് അടച്ച സ്ഥലത്തിന്റെ അളവാണ്, ഇത് V = πr²h ആണ് നൽകുന്നത്, ഇവിടെ h എന്നത് ഡിസ്കിന്റെ ഉയരമാണ്.^[2]

ഡിസ്കിന് വൃത്താകൃതിയിലുള്ള സമമിതിയാണ് ഉള്ളത്. ^[5]

ഓപ്പൺ ഡിസ്കും ക്ലോസ്ഡ് ഡിസ്കും ടോപ്പോളജിക്കലി തുല്യമല്ല (അതായത്, അവ ഹോമിയോമോർഫിക് അല്ല). അവയ്ക്ക് വ്യത്യസ്ത ടോപ്പോളജിക്കൽ ഗുണങ്ങളാണുള്ളത്. ഉദാഹരണത്തിന്, എല്ലാ ക്ലോസ്ഡ് ഡിസ്കുകളും കോംപാക്റ്റ് ആണ്, അതേസമയം എല്ലാ ഓപ്പൺ ഡിസ്കുകളും കോംപാക്റ്റ് അല്ല. ^[6] എന്നിരുന്നാലും ബീജഗണിത ടോപ്പോളജിയുടെ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന് അവ പല ഗുണങ്ങളും പങ്കിടുന്നു: ഇവ രണ്ടും കോൺട്രാസിബിൾ ആണ്.^[7] ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നത് ഇവയുടെ അടിസ്ഥാന ഗ്രൂപ്പുകൾ ട്രിവിയൽ ആണെന്നും, Z ന്റെ ഐസോമോഫിക് ആയ 0-ആമത്തേത് ഒഴികെ എല്ലാ ഹോമോളജി ഗ്രൂപ്പുകളും ട്രിവിയൽ ആണെന്നുമാണ്. ഒരു പോയിന്റിന്റെ (അതിനാൽ ഓപ്പണോ ക്ലോസ്ഡോ ആയ ഡിസ്കിന്റെ) യൂലർ സ്വഭാവം 1 ആണ്.^[8]

ക്ലോസ്ഡ് ഡിസ്കിൽ നിന്ന് അതിലേക്കുള്ള എല്ലാ കണ്ടിന്യുവസ് മാപ്പിനും കുറഞ്ഞത് ഒരു നിശ്ചിത പോയിന്റെങ്കിലും ഉണ്ട് (മാപ്പ് ബൈജക്റ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ സർജക്റ്റീവ് ആയിരിക്കണമെന്ന് നിർബന്ധമില്ല); ഇതാണ് ബ്രൗവർ ഫിക്സഡ് പോയിന്റ് സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ n =2. ^[9] ഓപ്പൺ ഡിസ്കിന്റെ കാര്യത്തിൽ ഈ പ്രസ്താവന തെറ്റാണ്: ^[10]

ഉദാഹരണത്തിന് ${\displaystyle f(x,y)=\left({\frac {x+{\sqrt {1-y^{2}}}}{2}},y\right)}$ ഫംഗ്ഷൻ പരിഗണിക്കുമ്പോൾ ഓപ്പൺ യൂണിറ്റ് ഡിസ്കിന്റെ ഓരോ പോയിന്റും നൽകിയിരിക്കുന്നതിന്റെ വലതുവശത്തുള്ള ഓപ്പൺ യൂണിറ്റ് ഡിസ്കിലെ മറ്റൊരു പോയിന്റിലേക്ക് ഇത് മാപ്പ് ചെയ്യുന്നു. എന്നാൽ ക്ലോസ്ഡ് യൂണിറ്റ് ഡിസ്കിന് അത് ഹാഫ് സർക്കിളിലെ ഓരോ പോയിന്റും ഫിക്സ് ചെയ്യുന്നു ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1,x>0.}$.

• യൂണിറ്റ് ഡിസ്ക്, ഒരു റേഡിയസ് ഉള്ള ഒരു ഡിസ്ക്
• ആനുലസ് (ഗണിതം), രണ്ട് കേന്ദ്രീകൃത വൃത്തങ്ങൾക്കിടയിലുള്ള മേഖല
• ബോൾ (ഗണിതം), ഒരു ഡിസ്കിന്റെ ത്രിമാന അനലോഗിന്റെ സാധാരണ പദം
• ഡിസ്ക് ബീജഗണിതം, ഒരു ഡിസ്കിലെ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഇടം
• ഓർത്തോസെൻട്രോയ്ഡൽ ഡിസ്ക്, ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ചില കേന്ദ്രങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു

1. ↑ Arnold, B. H. (2013), Intuitive Concepts in Elementary Topology, Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, p. 58, ISBN 9780486275765.
2. ↑ ^{2.0 2.1 2.2 2.3 2.4} "Disk: Definitions and Examples" (in അമേരിക്കൻ ഇംഗ്ലീഷ്). Retrieved 2023-09-21.
3. ↑ Clapham, Christopher; Nicholson, James (2014), The Concise Oxford Dictionary of Mathematics, Oxford University Press, p. 138, ISBN 9780199679591
4. ↑ Rotman, Joseph J. (2013), Journey into Mathematics: An Introduction to Proofs, Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, p. 44, ISBN 9780486151687.
5. ↑ Altmann, Simon L. (1992). Icons and Symmetries (in ഇംഗ്ലീഷ്). Oxford University Press. ISBN 9780198555995. disc circular symmetry.
6. ↑ Maudlin, Tim (2014), New Foundations for Physical Geometry: The Theory of Linear Structures, Oxford University Press, p. 339, ISBN 9780191004551.
7. ↑ Cohen, Daniel E. (1989), Combinatorial Group Theory: A Topological Approach, London Mathematical Society Student Texts, vol. 14, Cambridge University Press, p. 79, ISBN 9780521349369.
8. ↑ In higher dimensions, the Euler characteristic of a closed ball remains equal to +1, but the Euler characteristic of an open ball is +1 for even-dimensional balls and −1 for odd-dimensional balls. See Klain, Daniel A.; Rota, Gian-Carlo (1997), Introduction to Geometric Probability, Lezioni Lincee, Cambridge University Press, pp. 46–50.
9. ↑ Arnold (2013), p. 132.
10. ↑ Arnold (2013), Ex. 1, p. 135.