വക്രതാവ്യാസാർദ്ധം

ഒരു വക്രവുമായി പരമാവധി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന വൃത്തചാപത്തിന്റെ ആരമാണ് വക്രത്തിന്റെ ആ ബിന്ദുവിലെ വക്രതയുടെ ആരം അഥവാ വക്രതാവ്യാസാർദ്ധം (Radius of Curvature R) എന്നറിയപ്പെടുന്നത്. പ്രതലങ്ങളെ സംബന്ധിച്ചടത്തോളം ഇത് ഒരു നിശ്ചിതബിന്ദുവിലെ ആ പ്രതലത്തിന്റെ ലംബപരിച്ഛേദവുമായി നന്നായി സമരസപ്പെടുന്ന വൃത്തത്തിന്റെ ആരമാണ്.. ^{[1] [2] [3]}

ഒരു ത്രിമാന ഇടത്തിലെ വക്രത്തിന്റെ കാര്യത്തിൽ, വക്രതയുടെ ദൂരം വക്ര സദിശത്തിന്റെ നീളമാണ്.

ഒരു സമതലീയ വക്രത്തിന്റെ കാര്യത്തിൽ, R ൻ്റെ കേവലമൂല്യം എന്നത് ^[4]

${\displaystyle R\equiv \left|{\frac {ds}{d\varphi }}\right|={\frac {1}{\kappa }},}$

ഇവിടെ s എന്നത് വക്രത്തിലെ ഒരു നിശ്ചിത ബിന്ദുവിൽ നിന്നുള്ള ചാപ നീളം φ സ്പർശരേഖാ കോൺ, κ വക്രത എന്നിവയാണ് .

വക്രത്തെ y(x) എന്ന് നിർദ്ദേശാങ്കരൂപത്തിൽ നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, വക്രതയുടെ ആരം (രണ്ടാം കൃതി വരെ വക്രത്തെ അവകലനം ചെയ്യാമെന്ന് കരുതുക):

${\displaystyle R=\left|{\frac {\left(1+y'^{\,2}\right)^{\frac {3}{2}}}{y''}}\right|,\qquad {\mbox{where}}\quad y'={\frac {dy}{dx}},\quad y''={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},}$

|z| എന്നത് z ന്റെ കേവല മൂല്യം സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

x(t), y(t) എന്നീ ഫംഗ്ഷനുകൾ ഉപയോഗിച്ച് വക്രത്തെ പരാമിതീയമായി നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, വക്രതയുടെ ആരം,

ഈ ഫലത്തെ സ്വാഭാവികമായി ഇങ്ങനെ വ്യാഖ്യാനിക്കാം ^[5]

${\displaystyle R={\frac {\left|\mathbf {v} \right|^{3}}{\left|\mathbf {v} \times \mathbf {\dot {v}} \right|}},\qquad {\mbox{where}}\quad \left|\mathbf {v} \right|={\big |}({\dot {x}},{\dot {y}}){\big |}=R{\frac {d\varphi }{dt}}.}$

മുകളിലെ അർദ്ധതലത്തിൽ ആരം a ആയ ഒരു അർദ്ധവൃത്തത്തിന്,

${\displaystyle y={\sqrt {a^{2}-x^{2}}},\quad y'={\frac {-x}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}},\quad y''={\frac {-a^{2}}{\left(a^{2}-x^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},\quad R=|-a|=a.}$

താഴത്തെ അർദ്ധ-തലത്തിലെ ആരം a ആയ അർദ്ധവൃത്തത്തിന്,

${\displaystyle y=-{\sqrt {a^{2}-x^{2}}},\quad R=|a|=a.}$

ആരം a ആയ വൃത്തത്തിന്റെ വക്രതാവ്യാസാർദ്ധം a തന്നെയാണ്.

• അവകലന ജ്യാമിതിയിലെ ഉപയോഗത്തിന്, സെസോറോ സമവാക്യം കാണുക.
• ഭൂമിയുടെ വക്രതയുടെ ആരം കണക്കാക്കുന്നതിന്
• ബീമുകളുടെ വളവ് സംബന്ധമായ പ്രശ്നങ്ങൾക്ക്
• പ്രകാശികത്തിലെ വക്രതയുടെ ആരം
• നേർത്ത ഫിലിം സാങ്കേതികവിദ്യകൾ
• മുദ്രണം ചെയ്ത ഇലക്ട്രോണിക സർക്യൂട്ട്.

• do Carmo, Manfredo (1976). Differential Geometry of Curves and Surfaces. ISBN 0-13-212589-7.

• ജ്യാമിതി കേന്ദ്രം: പ്രധാന വക്രതകൾ Archived 2022-01-23 at the Wayback Machine
• 15.3 വക്രതയുടെ വക്രതയും ദൂരവും Archived 2021-04-29 at the Wayback Machine
• വെയ്സ്സ്റ്റൈൻ, എറിക് ഡബ്ല്യൂ. "പ്രിൻസിപ്പൽ കർവച്ചേഴ്സ്" . മാത്ത് വേൾഡ് .
• വെയ്സ്സ്റ്റൈൻ, എറിക് ഡബ്ല്യൂ. "പ്രിൻസിപ്പൽ റേഡിയസ് ഓഫ് കർവച്ചർ" . മാത്ത് വേൾഡ് .

1. ↑ Weisstien, Eric. "Radius of Curvature". Wolfram Mathworld. Retrieved 15 August 2016.
2. ↑ Kishan, Hari (2007). Differential Calculus (in ഇംഗ്ലീഷ്). Atlantic Publishers & Dist. ISBN 9788126908202.
3. ↑ Love, Clyde E.; Rainville, Earl D. (1962). Differential and Integral Calculus (in ഇംഗ്ലീഷ്) (Sixth ed.). New York: MacMillan.
4. ↑ Love, Clyde E.; Rainville, Earl D. (1962). Differential and Integral Calculus (in ഇംഗ്ലീഷ്) (Sixth ed.). New York: MacMillan.Love, Clyde E.; Rainville, Earl D. (1962). Differential and Integral Calculus (Sixth ed.). New York: MacMillan.
5. ↑ Kishan, Hari (2007). Differential Calculus (in ഇംഗ്ലീഷ്). Atlantic Publishers & Dist. ISBN 9788126908202.Kishan, Hari (2007). Differential Calculus. Atlantic Publishers & Dist. ISBN 9788126908202.