Lineært tidsinvariant system

Eit lineært tidsinvariant system (også kjent som eit LTI-system) er eit lineært og tidsinvariant system.

LTI-system er skildra ved impulsresponsen i tidsplanet og transferfunksjonen, òg kalla systemfunksjonen, i s-planet eller Z-planet. Folding mellom impulseresponsen til eit LTI-system og eit signal i tidsplanet, svarar til multiplikasjon av transferfunksjonen til LTI-systemet.

Eigenfunksjonen for eit LTI-system er ein funksjon som fører til at utgangssignalet frå systemet er den same same eigenfunksjonen, skalert med ein konstant. Dette kan uttrykkast

${\displaystyle {\mathcal {H}}f=\lambda f}$,

der f er eigenfunsjonen og ${\displaystyle \lambda }$ er eigenverdien (ein konstant).

Eksponentialfunksjonen ${\displaystyle z^{n}=e^{sTn}}$ er eigenfunksjonen til ein linær tidsinvariant operator, ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ er ein tidsindeks, ${\displaystyle T\in \mathbb {R} }$ er sampelintervalet og ${\displaystyle z=e^{sT},\ z,s\in \mathbb {C} }$. Dette kan synast med eit enkelt bevis.

Gå ut frå at ${\displaystyle x[n]=\,\!z^{n}}$. Utgangssignalet frå eit system med impulserespons ${\displaystyle h[n]}$ er da

${\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]\,z^{m}}$,

som ved hjelp av den kommutative eigenskapen til foldningsoperatoren kan uttrykkast

${\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\,z^{(n-m)}=z^{n}\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\,z^{-m}=z^{n}H(z)}$,

der

${\displaystyle H(z)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]z^{-m}}$

berre er avhengig av parameteren z.

Så ${\displaystyle z^{n}}$ er ein eigenfunksjon til eit LTI-system av di esponsen til systemet er den same som inngangssignalet multiplisert med konstanten ${\displaystyle H(z)}$.

Eit lineært tidsinvariant system er kausalt om det oppfyller fylgjande for impulsresponsen ${\displaystyle h[n]}$ til systemet:

 ${\displaystyle h[n]=0\quad {\text{for }}n<0}$.

Eit kausalt system kan med andre ord ingen respons på utgangen før det er tilført ein eksitasjon (signal) på inngangen.

Føresetnaden for at eit LTI-system er stabilt et når amplituden på inngangssignalet er avgrensa er òg amplituden på utgangen avgrensa (går ikkje mot uendeleg). Dette vert kalla BIBO-stabilt. I praksis må amplituden til utgangssignalet avgrensar mellom maksimum- og minimunverdiar. Utgangen på ein spenningsforsterkar til dømes kan ikkje overstiga veridane til forsyningsspenningane

Føresetnaden for at eit tidskontinuerleg LTI-system er BIBO-stabilt er at impulsresponsen ${\displaystyle h(t)}$ er absolutt integrerbar, dvs. at L¹-rommet eksistrerer:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)\right|\,{\mathord {\operatorname {d} }}t=\|h\|_{1}<\infty }$.

Føresetnaden for at eit tidsdiskter LTI-system er BIBO-stabilt er at impulsresponsen er absolutt summerbar, dvs. at L¹-rommet eksistrerer:

${\displaystyle \ \sum _{n=-\infty }^{\infty }|h[n]|=\|h\|_{1}<\infty }$.