Relacion binària

En matematicas, una relacion binària dins un ensemble E (que supausarem non vuege) es una proprietat relativa ai pareus d'elements de E, tala que per cada pareu, se pòt respòndre (de òc, o de non) a la question : "la proprietat es verificada per lo pareu considerat ?"

Per exemple, la relacion binària "èsser inferior o egau a" dins l'ensemble ${\displaystyle \mathbb {R} }$ dei nombres reaus es la proprietat verificada per lei pareus (x, y) de reaus taus que ${\displaystyle x\leq y}$ , coma ${\displaystyle ({\sqrt {3}},\,2)}$ , mai pas ${\displaystyle (3;\,-0,25)}$ .

En teoria deis ensembles, s'identifica una relacion binària dins un ensemble E amb l'ensemble dei pareus d'elements de E que verifican la relacion (valent a dire la proprietat) : es un sosensemble dau carrat cartesian ${\displaystyle E\times E=E^{2}}$ . Per exemple, s'identifica la relacion binària precedenta dins ${\displaystyle \mathbb {R} }$ amb lo sosensemble ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ansin definit :

${\displaystyle {\mathcal {R}}=\{(x,\,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x\leq y\;\}}$

Formalament, una relacion binària dins un ensemble E es un sosensemble ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ dau carrat cartesian ${\displaystyle E\times E=E^{2}}$ . Se ditz qu'un pareu (x, y) d'elements de E verifica la relacion ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ se ${\displaystyle (x,\,y)\in {\mathcal {R}}}$ .

Lo pus sovent, s'utiliza una notacion infixada e s'escriu : ${\displaystyle x{\mathcal {R}}y}$ en plaça de : ${\displaystyle (x,\,y)\in {\mathcal {R}}}$ .

• Dins un ensemble E, l'egalitat es la relacion binària definida per l'ensemble ${\displaystyle \Delta =\{(x,\,x)\mid x\in E\;\}}$ (la diagonala de ${\displaystyle \ E^{2}}$ ).

• Dins l'ensemble ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ , aver la meteissa paritat es una relacion binària ; per exemple −2 a la meteissa paritat que 6 (son pars totei dos), e 7 a la meteissa paritat que 23 (son impars totei dos) ; en convenent d'escriure aicí : ${\displaystyle a\equiv b}$ quand l'entier a a la meteissa paritat que l'entier b, se pòt afiermar que ${\displaystyle -2\equiv 6}$ e que ${\displaystyle 7\equiv 23}$ .

• Dins l'ensemble ${\displaystyle {\mathcal {E}}={\mathcal {P}}(\Omega )}$ dei partidas d'un ensemble ${\displaystyle \ \Omega }$ , l'inclusion es una relacion binària : estent un pareu (A, B) de partidas (o sosensembles) de ${\displaystyle \ \Omega }$ , se A es inclusa dins B, s'escriu : ${\displaystyle A\subset B}$ .

• Dins l'ensemble ${\displaystyle \mathbb {R} }$ dei reaus, se definís :
  • doas relacions binàrias dichas inegalitats largas (${\displaystyle \leq ,\geq }$ ) e
  • doas relacions binàrias dichas inegalitats estrictas (<, >).

• Dins l'ensemble ${\displaystyle \mathbb {N} }$ deis entiers naturaus, la divisibilitat es una relacion binària. Estent un pareu (a, b) d'entiers naturaus, se ditz que a dividís b, o que a es un divisor de b (o encara que b es un multiple de a) s'existís un entier naturau q tau que b = a q (lo produch de a e q) ; en aqueu cas, s'escriu : ${\displaystyle a\mid b}$ ; ansin : ${\displaystyle 3\mid 15}$ .

Citam aicí quauquei proprietats frequentas, e importantas, dei relacions binàrias : la reflexivitat, la simetria, l'antisimetria e la transitivitat.

Siá ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ una relacion binària dins un ensemble E;

Se ditz que ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ es reflexiva se per tot element x de E :

${\displaystyle x{\mathcal {R}}x}$

Se ditz que ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ es simetrica se per tot pareu (x, y) d'elements de E :

${\displaystyle (x{\mathcal {R}}y)\Rightarrow (y{\mathcal {R}}x)}$

Se ditz que ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ es antisimetrica se per tot pareu (x, y) d'elements de E :

${\displaystyle (x{\mathcal {R}}y)\wedge (y{\mathcal {R}}x)\Rightarrow (x=y)}$

• Se ditz que ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ es transitiva se per tot triplet (x, y, z) d'elements de E :

${\displaystyle (x{\mathcal {R}}y)\wedge (y{\mathcal {R}}z)\Rightarrow (x{\mathcal {R}}z)}$

• Dins un ensemble E, l'egalitat es una relacion binària reflexiva, simetrica e transitiva :
  • se x es un element de E, alora x = x (reflexivitat)
  • se x, y son d'elements de E taus que x = y, alora y = x (simetria)
  • se x, y, z son d'elements de E taus que x = y e y = z, alora x = z (transitivitat)
• Dins l'ensemble ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ deis entiers, "aver la meteissa paritat" es una relacion binària reflexiva, simetrica e transitiva :
  • se x es un entier, alora ${\displaystyle x\equiv x}$ (reflexivitat)
  • se x, y son d'entiers taus que ${\displaystyle x\equiv y}$, alora ${\displaystyle y\equiv x}$ (simetria)
  • se x, y, z son d'entiers taus que ${\displaystyle x\equiv y}$ e ${\displaystyle y\equiv z}$, alora ${\displaystyle x\equiv z}$ (transitivitat)
• Dins l'ensemble ${\displaystyle {\mathcal {E}}={\mathcal {P}}(\Omega )}$ , l'inclusion es una relacion binària reflexiva, antisimetrica e transitiva :
  • se A es una partida de ${\displaystyle \ \Omega }$, alora ${\displaystyle A\subset A}$ (reflexivitat)
  • se A, B son de partidas de ${\displaystyle \ \Omega }$ talei que ${\displaystyle A\subset B}$ e ${\displaystyle B\subset A}$, alora A = B (antisimetria)
  • se A, B, C son de partidas de ${\displaystyle \ \Omega }$ talei que ${\displaystyle A\subset B}$ e ${\displaystyle B\subset C}$, alora ${\displaystyle A\subset C}$ (transitivitat)
• Dins l'ensemble ${\displaystyle \mathbb {R} }$ dei reaus :
  • caduna dei doas relacions d'inegalitat larga es reflexiva, antisimetrica e transitiva
  • caduna dei doas relacions d'inegalitat estricta es transitiva
• Dins l'ensemble ${\displaystyle \mathbb {N} }$ deis entiers naturaus, la relacion de divisibilitat es reflexiva, antisimetrica e transitiva

• Pareu
• Produch cartesian
• Relacion d'equivaléncia
• Relacion d'òrdre