ਆਈਗਨ-ਮੁੱਲ ਅਤੇ ਆਈਗਨ-ਵੈਕਟਰ

ਰੇਖਿਕ ਬੀਜ-ਗਣਿਤ ਅੰਦਰ, ਕਿਸੇ ਫੀਲਡ F ਉੱਤੇ ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ V ਦਾ ਆਪਣੇ ਆਪ ਵਿੱਚ ਤੋਂ ਇੱਕ ਰੇਖਿਕ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦਾ ਇੱਕ ਆਈਗਨ-ਵੈਕਟਰ ਜਾਂ ਲੱਛਣਾਤਮਿਕ ਵੈਕਟਰ, ਇੱਕ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਵੈਕਟਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਓਸ ਵੇਲੇ ਆਪਣੀ ਦਿਸ਼ਾ ਨਹੀਂ ਬਦਲਦਾ ਜਦੋਂ ਉਹ ਰੇਖਿਕ ਪਰਿਵਰਤਨ ਇਸ ਤੇ ਲਾਗੂ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਜੇਕਰ v ਕੋਈ ਅਜਿਹਾ ਵੈਕਟਰ ਹੋਵੇ ਜੋ ਜ਼ੀਰੋ ਵੈਕਟਰ ਨਾ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਇਹ ਕਿਸੇ ਰੇਖਿਕ ਪਰਿਵਰਤਨ T ਦਾ ਇੱਕ ਆਈਗਨ-ਵੈਕਟਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ T(v), v ਦਾ ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਾਂਕ ਹੋਵੇ। ਇਸ ਸ਼ਰਤ ਨੂੰ ਇਸ ਮੈਪਿੰਗ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ

T:\mathbf {v} \mapsto \lambda \mathbf {v} ,

ਜਿੱਥੇ λ, ਫੀਲਡ F ਅੰਦਰ ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਆਇਗਨਵੈਕਟਰ v ਨਾਲ ਜੁੜਿਆ ਆਈਗਨ-ਮੁੱਲ ਜਾਂ ਲੱਛਣਾਤਮਿਕ ਮੁੱਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਜੇਕਰ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ V ਸੀਮਰ-ਅਯਾਮੀ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਰੇਖਿਕ ਪਰਿਵਰਤਨ T ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਕੁਏਅਰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਵੈਕਟਰ v ਨੂੰ ਇੱਕ ਕਾਲਮ ਵੈਕਟਰ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਉੱਪਰ ਲਿਖੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਛੱਡ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਕਾਲਮ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਸਕੇਲਿੰਗ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਰਹਿਣ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।

A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} .

ਇੱਕ n-ਅਯਾਮੀ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਤੋਂ ਆਪਣੇ ਆਪ ਤੱਕ ਰੇਖਿਕ ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਅਤੇ n ਗੁਣਾ n ਵਰਗ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਇੱਕ ਮੇਲਜੋਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਕਾਰਣ ਕਰਕੇ, ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦੀ ਭਾਸ਼ਾ ਜਾਂ ਰੇਖਿਕ ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਦੀ ਭਾਸ਼ਾ ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ ਆਈਗਨ-ਮੁੱਲਾਂ ਅਤੇ ਆਇਗਨ-ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨਾ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਹੀ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ।^[1]^[2]

ਰੇਖਾ-ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਪਰਿਵਰਤ ਅਤੇ ਆਇਗਨ-ਮੁੱਲ ਰਾਹੀਂ ਖਿੱਚੀ ਗਈ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵਾਸਤਵਿਕ, ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਆਈਗਨ-ਮੁੱਲ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਕੋਈ ਆਇਗਨ-ਵੈਕਟਰ ਉਹ ਹਿੱਸਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਦੁਆਰਾ ਇਸਨੂੰ ਖਿੱਚਿਆ ਗਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਆਈਗਨਮੁੱਲ ਨੈਗਟਿਵ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਦਿਸ਼ਾ ਉਲਟ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।^[3]

ਨੋਟਸ

↑ Herstein (1964, pp. 228,229)
↑ Nering (1970, p. 38)
↑ Burden & Faires (1993, p. 401)

ਹਵਾਲੇ

Akivis, Max A.; Goldberg, Vladislav V. (1969), Tensor calculus, Russian, Science Publishers, Moscow
Aldrich, John (2006), "Eigenvalue, eigenfunction, eigenvector, and related terms", in Jeff Miller (Editor) (ed.), Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics, retrieved 2006-08-22 {{citation}}: |editor= has generic name (help); External link in |chapterurl= (help); Unknown parameter |chapterurl= ignored (|chapter-url= suggested) (help)
Alexandrov, Pavel S. (1968), Lecture notes in analytical geometry, Russian, Science Publishers, Moscow
Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra (5th ed.), New York: Wiley, ISBN 0-471-84819-0
Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Co., ISBN 0-395-14017-X
Beezer, Robert A. (2006), A first course in linear algebra, Free online book under GNU licence, University of Puget Sound
Betteridge, Harold T. (1965), The New Cassell's German Dictionary, New York: Funk & Wagnall, LCCN 58-7924
Bowen, Ray M.; Wang, Chao-Cheng (1980), Linear and multilinear algebra, Plenum Press, New York, ISBN 0-306-37508-7
Brown, Maureen (October 2004), Illuminating Patterns of Perception: An Overview of Q Methodology
Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas (1993), Numerical Analysis (5th ed.), Boston: Prindle, Weber and Schmidt, ISBN 0-534-93219-3
Carter, Tamara A.; Tapia, Richard A.; Papaconstantinou, Anne, Linear Algebra: An Introduction to Linear Algebra for Pre-Calculus Students, Rice University, Online Edition, retrieved 2008-02-19
Cohen-Tannoudji, Claude (1977), "Chapter II. The mathematical tools of quantum mechanics", Quantum mechanics, John Wiley & Sons, ISBN 0-471-16432-1
Curtis, Charles W. (1999), Linear Algebra: An Introductory Approach (4th ed.), Springer, ISBN 0-387-90992-3
Demmel, James W. (1997), Applied numerical linear algebra, SIAM, ISBN 0-89871-389-7
Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
Fraleigh, John B.; Beauregard, Raymond A. (1995), Linear algebra (3rd ed.), Addison-Wesley Publishing Company, ISBN 0-201-83999-7
Friedberg, Stephen H.; Insel, Arnold J.; Spence, Lawrence E. (1989), Linear algebra (2nd ed.), Englewood Cliffs, New Jersey 07632: Prentice Hall, ISBN 0-13-537102-3{{citation}}: CS1 maint: location (link)
Gelfand, I. M. (1971), Lecture notes in linear algebra, Russian, Science Publishers, Moscow
Gohberg, Israel; Lancaster, Peter; Rodman, Leiba (2005), Indefinite linear algebra and applications, Basel-Boston-Berlin: Birkhäuser Verlag, ISBN 3-7643-7349-0
Golub, Gene F.; van der Vorst, Henk A. (2000), "Eigenvalue computation in the 20th century", Journal of Computational and Applied Mathematics, 123: 35–65, Bibcode:2000JCoAM.123...35G, doi:10.1016/S0377-0427(00)00413-1
Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix computations (3rd ed.), Johns Hopkins University Press, Baltimore, Maryland, ISBN 978-0-8018-5414-9
Greub, Werner H. (1975), Linear Algebra (4th ed.), Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-90110-8
Halmos, Paul R. (1987), Finite-dimensional vector spaces (8th ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-90093-4
Hawkins, T. (1975), "Cauchy and the spectral theory of matrices", Historia Mathematica, 2: 1–29, doi:10.1016/0315-0860(75)90032-4
Hefferon, Jim (2001), Linear Algebra, Online book, St Michael's College, Colchester, Vermont, USA, archived from the original on 2014-03-01, retrieved 2016-07-03
Herstein, I. N. (1964), Topics In Algebra, Waltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016
Horn, Roger A.; Johnson, Charles F. (1985), Matrix analysis, Cambridge University Press, ISBN 0-521-30586-1
Kline, Morris (1972), Mathematical thought from ancient to modern times, Oxford University Press, ISBN 0-19-501496-0
Korn, Granino A.; Korn, Theresa M. (2000), "Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review", New York: McGraw-Hill (2nd Revised ed.), Dover Publications, Bibcode:1968mhse.book.....K, ISBN 0-486-41147-8
Kuttler, Kenneth (2007), An introduction to linear algebra (PDF), Online e-book in PDF format, Brigham Young University, archived from the original (PDF) on 2008-08-07, retrieved 2016-07-03
Lancaster, P. (1973), Matrix theory, Russian, Moscow, Russia: Science Publishers
Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2003), Elementary linear algebra (5th ed.), Houghton Mifflin Company, ISBN 0-618-33567-6
Lipschutz, Seymour (1991), Schaum's outline of theory and problems of linear algebra, Schaum's outline series (2nd ed.), New York: McGraw-Hill Companies, ISBN 0-07-038007-4
Meyer, Carl D. (2000), Matrix analysis and applied linear algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, ISBN 978-0-89871-454-8
Nering, Evar D. (1970), Linear Algebra and Matrix Theory (2nd ed.), New York: Wiley, LCCN 76091646
(ਰੂਸੀ)Pigolkina, T. S.; Shulman, V. S. (1977). "Eigenvalue". In Vinogradov, I. M.. Mathematical Encyclopedia. 5. Moscow: Soviet Encyclopedia.
Press, William H.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T.; Flannery, Brian P. (2007), Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), ISBN 9780521880688
Roman, Steven (2008), Advanced linear algebra (3rd ed.), New York: Springer Science + Business Media, LLC, ISBN 978-0-387-72828-5
Sharipov, Ruslan A. (1996), Course of Linear Algebra and Multidimensional Geometry: the textbook, arXiv:math/0405323, Bibcode:2004math......5323S, ISBN 5-7477-0099-5
Shilov, Georgi E. (1977), Linear algebra, Translated and edited by Richard A. Silverman, New York: Dover Publications, ISBN 0-486-63518-X
Shores, Thomas S. (2007), Applied linear algebra and matrix analysis, Springer Science+Business Media, LLC, ISBN 0-387-33194-8
Strang, Gilbert (1993), Introduction to linear algebra, Wellesley-Cambridge Press, Wellesley, Massachusetts, ISBN 0-9614088-5-5
Strang, Gilbert (2006), Linear algebra and its applications, Thomson, Brooks/Cole, Belmont, California, ISBN 0-03-010567-6