ਕਸ਼ੁਦਰ ਗ੍ਰਹਿ

ਕਸ਼ੁਦਰ ਗ੍ਰਹਿ, ਜਿੰਹੇ ਅਪਰਸਿੱਧ ਗ੍ਰਹਿ ਜਾਂ ਐਸਟਰੌਏਡ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਸੌਰ ਮੰਡਲ ਵਿੱਚ ਵਿਚਰਨ ਕਰਣ ਵਾਲੇ ਅਜਿਹੇ ਖਗੋਲੀ ਪਿੰਡ ਹੈ ਜੋ ਤੁਸੀਂ ਸਰੂਪ ਵਿੱਚ ਗਰਹੋ ਵਲੋਂ ਛੋਟੇ ਅਤੇ ਉਲਕਾ ਪਿੰਡਾਂ ਵਲੋਂ ਵੱਡੇ ਹੁੰਦੇ ਹੈ।

ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਐਸਟ੍ਰੋਇਡ ਇੱਕ ਖਾਸ ਕਿਸਮ ਦਾ ਰੂਲੇਟ ਕਰਵ ਹੁੰਦਾ ਹੈ: ਇੱਕ ਹਾਈਪੋਸਾਈਕਲੋਇਡ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਚਾਰ ਕਪਸ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ, ਇਹ ਇੱਕ ਚੱਕਰ 'ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦਾ ਟਿਕਾਣਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਚਾਰ ਗੁਣਾ ਘੇਰੇ ਦੇ ਨਾਲ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਚੱਕਰ ਦੇ ਅੰਦਰ ਘੁੰਮਦਾ ਹੈ ।^[1] ਦੋਹਰੀ ਪੀੜ੍ਹੀ ਦੁਆਰਾ, ਇਹ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦਾ ਟਿਕਾਣਾ ਵੀ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ 4/3 ਗੁਣਾ ਘੇਰੇ ਦੇ ਨਾਲ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਚੱਕਰ ਦੇ ਅੰਦਰ ਘੁੰਮਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਨੂੰ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਲੰਬਾਈ ਦੇ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਭਾਗ ਦੇ ਲਿਫਾਫੇ ਵਜੋਂ ਵੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੋ ਹਰੇਕ ਧੁਰੇ 'ਤੇ ਇੱਕ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਰੱਖਦੇ ਹੋਏ ਚਲਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਆਰਕੀਮੀਡੀਜ਼ ਦੇ ਟ੍ਰਾਮਲ ਵਿੱਚ ਚਲਦੀ ਪੱਟੀ ਦਾ ਲਿਫਾਫਾ ਹੈ।

ਇਸਦਾ ਆਧੁਨਿਕ ਨਾਮ " ਸਟਾਰ " ਲਈ ਯੂਨਾਨੀ ਸ਼ਬਦ ਤੋਂ ਆਇਆ ਹੈ। ਇਹ ਪ੍ਰਸਤਾਵਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ, ਅਸਲ ਵਿੱਚ "ਐਸਟ੍ਰੋਇਸ" ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਜੋਸੇਫ ਜੋਹਾਨ ਵਾਨ ਲਿਟਰੋ ਦੁਆਰਾ 1838 ਵਿੱਚ^[2][3] ਕਰਵ ਦੇ ਕਈ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੇ ਨਾਮ ਸਨ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਟੈਟਰਾਕਸਪਿਡ (ਅਜੇ ਵੀ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ), ਕਿਊਬੋਸਾਈਕਲਾਇਡ ਅਤੇ ਪੈਰਾਸਾਈਕਲ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਇਹ ਅੰਡਾਕਾਰ ਦੇ ਵਿਕਾਸ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਗਭਗ ਸਮਾਨ ਹੈ।

ਜੇਕਰ ਸਥਿਰ ਚੱਕਰ ਦਾ ਘੇਰਾ a ਹੈ ਤਾਂ ਸਮੀਕਰਨ^[4] ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।$${\displaystyle x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}.}$$ਇਸ ਦਾ ਮਤਲਬ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਐਸਟ੍ਰੋਇਡ ਵੀ ਇੱਕ ਸੁਪਰਇਲਿਪਸ ਹੈ।

• ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਹਨ

$${\displaystyle {\begin{aligned}x=a\cos ^{3}t&={\frac {a}{4}}\left(3\cos \left(t\right)+\cos \left(3t\right)\right),\\[2ex]y=a\sin ^{3}t&={\frac {a}{4}}\left(3\sin \left(t\right)-\sin \left(3t\right)\right).\end{aligned}}}$$ਮੂਲ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਪੈਡਲ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ

$${\displaystyle r^{2}=a^{2}-3p^{2},}$$ਵ੍ਹੀਲ ਸਮੀਕਰਨ

$${\displaystyle s={3a \over 4}\cos 2\varphi ,}$$ਐਸਟ੍ਰੋਇਡ ਜੀਨਸ ਜ਼ੀਰੋ ਦੇ ਇੱਕ ਪਲੇਨ ਬੀਜਗਣਿਤ ਵਕਰ ਦਾ ਇੱਕ ਅਸਲ ਟਿਕਾਣਾ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ^[5]

$${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}-a^{2}\right)^{3}+27a^{2}x^{2}y^{2}=0.}$$ਐਸਟ੍ਰੋਇਡ, ਇਸ ਲਈ, ਡਿਗਰੀ ਛੇ ਦਾ ਇੱਕ ਅਸਲੀ ਬੀਜਗਣਿਤ ਵਕਰ ਹੈ।

ਐਸਟ੍ਰੋਇਡ ਦੇ ਅਸਲ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਚਾਰ ਕੁਸਪ ਸਿੰਗਲਰਿਟੀਜ਼ ਹਨ, ਤਾਰੇ 'ਤੇ ਬਿੰਦੂ। ਇਸ ਵਿੱਚ ਅਨੰਤਤਾ 'ਤੇ ਦੋ ਹੋਰ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਕੁਸਪ ਇਕਵਚਨਤਾਵਾਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਕੁੱਲ ਦਸ ਇਕਵਚਨਾਂ ਲਈ ਚਾਰ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਡਬਲ ਬਿੰਦੂ ਹਨ।

ਐਸਟ੍ਰੋਇਡ ਲਈ ਦੋਹਰੀ ਵਕਰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਨਾਲ ਕਰੂਸਿਫਾਰਮ ਕਰਵ ਹੈ ${\textstyle x^{2}y^{2}=x^{2}+y^{2}.}$ ਇੱਕ ਐਸਟ੍ਰੋਇਡ ਦਾ ਵਿਕਾਸ ਇੱਕ ਐਸਟ੍ਰੋਇਡ ਨਾਲੋਂ ਦੁੱਗਣਾ ਵੱਡਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਐਸਟ੍ਰੋਇਡ ਦੀ ਹਰੇਕ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਇਸਨੂੰ ਹੇਜਹੌਗ ਦੀ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ।^[6]

1. ↑ Yates
2. ↑ J. J. v. Littrow (1838). "§99. Die Astrois". Kurze Anleitung zur gesammten Mathematik. Wien. p. 299.
3. ↑ Loria, Gino (1902). Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte. Leipzig. pp. 224.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
4. ↑ Yates, for section
5. ↑ A derivation of this equation is given on p. 3 of http://xahlee.info/SpecialPlaneCurves_dir/Astroid_dir/astroid.pdf
6. ↑ Nishimura, Takashi; Sakemi, Yu (2011). "View from inside". Hokkaido Mathematical Journal. 40 (3): 361–373. doi:10.14492/hokmj/1319595861. MR 2883496.

• J. Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curves. Dover Publications. pp. 4–5, 34–35, 173–174. ISBN 0-486-60288-5.
• Wells D (1991). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. New York: Penguin Books. pp. 10–11. ISBN 0-14-011813-6.
• R.C. Yates (1952). "Astroid". A Handbook on Curves and Their Properties. Ann Arbor, MI: J. W. Edwards. pp. 1 ff.

• ਵਿਕੀਮੀਡੀਆ ਕਾਮਨਜ਼ ਉੱਤੇ Astroid ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਮੀਡੀਆ ਹੈ।"Astroid" at The MacTutor History of Mathematics archive

• "Astroid" at The Encyclopedia of Remarkable Mathematical Forms
• Article on 2dcurves.com
• Visual Dictionary Of Special Plane Curves, Xah Lee
• Bars of an Astroid by Sándor Kabai, The Wolfram Demonstrations Project.