ਟੋਡਾ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ

ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਦੇ ਅਧਿਐਨ ਵਿੱਚ ਅਤੇ ਪਾਰਸ਼ਲ ਡਿੱਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਅਧਿਐਨ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਟੋਡਾ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ (ਜਿਸਦਾ ਨਾਮ ਮੋਰੀਕਾਜ਼ੂ ਟੋਡਾ ਦੇ ਨਾਮ ਤੋਂ ਰੱਖਿਆ ਗਿਆ) ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੇ ਲਗਰਾਂਜੀਅਨ ਤੋਂ ਵਿਓਂਤਬੰਦ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ:

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\left[\left({\partial \phi \over \partial t},{\partial \phi \over \partial t}\right)-\left({\partial \phi \over \partial x},{\partial \phi \over \partial x}\right)\right]-{m^{2} \over \beta ^{2}}\sum _{i=1}^{r}n_{i}e^{\beta \alpha _{i}\cdot \phi }.}$

ਇੱਥੇ x ਅਤੇ t ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਹਨ,

(,), ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ਉੱਤੇ ਕਾਕ-ਮੂਡੀ ਅਲਜਬਰੇ ਦਾ ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ r-ਅਯਾਮੀ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ਕਾਰਟਨ ਅਲਜਬਰੇ ਦੀ ਕਿਲਿੰਗ ਕਿਸਮ ਹੈ,

α_i, ਕਿਸੇ ਰੂਟ ਅਧਾਰ ਵਿੱਚ iਵਾਂ ਸਰਲ ਰੂਟ ਹੈ,

n_i, ਕੋਜ਼ੀਟਰ ਨੰਬਰ ਹੈ,

m, ਪੁੰਜ (ਜਾਂ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸ਼ੁੱਧ ਪੁੰਜ) ਹੈ, ਅਤੇ

β, ਕਪਲਿੰਗ ਸਥਿਰਾਂਕ ਹੈ।

ਫੇਰ ਇੱਕ ਟੋਡਾ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ φ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਹੈ ਜੋ 2-ਅਯਾਮੀ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਦਾ ਨਕਸ਼ਾ ਬਣਾਉਂਦਾ (ਮੈਪਿੰਗ ਕਰਦਾ) ਹੈ ਤੇ ਸਬੰਧਤ ਇਲੁਰ-ਲਗਰਾਂਜੀਅਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ।

ਜੇਕਰ ਕਾਕ-ਮੂਡੀ ਅਲਜਬਰਾ ਸੀਮਤ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਟੋਡਾ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਇਹ ਅੱਫਾਈਨ (ਸਮਾਂਤਰ ਸਬੰਧਾਂਤਮਿਕ) ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਅੱਫਾਈਨ ਟੋਡਾ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ (ਮੇਲ ਹਟਾਉਣ ਵਾਲੀ ਫੀਲਡ φ ਦੇ ਕੰਪੋਨੈਂਟ/ਹਿੱਸੇ ਨੂੰ ਹਟਾਉਣ ਤੋਂ ਬਾਦ) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਜੇਕਰ ਇਹ ਹਾਈਪਰਬੋਲਿਕ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਹਾਈਪਰਬੋਲਿਕ ਟੋਡਾ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਟੋਡਾ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀਆਂ ਇੰਟਗ੍ਰੇਬਲ ਮਾਡਲ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਇਹਨਾਂ ਦੇ ਹੱਲ ਸੌਲੀਟੌਨਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ।

ਲੀਓਵਿੱਲੇ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ A1 ਕਾਰਟਨ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ

ਸਿੰਨਸ਼ (sinh)-ਜੌਰਡਨ ਮਾਡਲ, ਸਰਵ ਸਧਾਰਨਕ੍ਰਿਤ ਕਾਰਟਨ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&-2\\-2&2\end{pmatrix}}}$

ਵਾਲੀ ਅਤੇ ਮੇਲ ਹਟਾਉਣ ਵਾਲੇ φ ਦੇ ਇੱਕ ਹਿੱਸੇ (ਕੰਪੋਨੈਂਟ) ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਸੁੱਟਣ ਤੋਂ ਬਾਦ β ਵਾਸਤੇ ਇੱਕ ਪੌਜ਼ੇਟਿਵ ਮੁੱਲ ਵਾਲੀ ਅੱਫਾਈਨ ਟੋਡਾ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਹੈ। ਸਾਈਨ-ਜੌਰਡਨ ਮਾਡਲ ਇਸੇ ਕਾਰਟਨ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵਾਲਾ ਮਾਡਲ ਹੈ ਪਰ ਇਸ ਵਿੱਚ β ਕਾਲਪਨਿਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।