ਭੌਤਿਕੀ ਸਪੇਸ ਦਾ ਅਲਜਬਰਾ

ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ, ਭੌਤਿਕੀ ਸਪੇਸ ਦਾ ਅਲਜਬਰਾ (APS), (3+1)-ਅਯਾਮੀ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਲਈ ਇੱਕ ਮਾਡਲ ਦੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਯੁਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸ ਦੇ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਜਾਂ ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਅਲਜਬਰੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨੂੰ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਇੱਕ ਪੈਰਾਵੈਕਟਰ (3-ਅਯਾਮੀ ਵੈਕਟਰ ਜਮਾਂ ਇੱਕ 1-ਅਯਾਮੀ ਸਕੇਲਰ) ਰਾਹੀਂ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਅੰਦਰ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਦਾ ਹੈ।

ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰਾ Cl_3,0(R) ਇੱਕ ਭਰੋਸੇਮੰਦ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਵਾਲਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਸਪਿੱਨ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ C² ਉੱਤੇ ਪੌਲੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਰਾਹੀਂ ਪੈਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ; ਹੋਰ ਅੱਗੇ, Cl_3,0(R) ਅਲਜਬਰਾ, 3+1 ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ Cl^[0]
_3,1(R) ਦੇ ਉੱਪ-ਅਲਜਬਰਿਆਂ ਪ੍ਰਤਿ ਤੱਕ ਆਈਸੋਮ੍ਰਫਿਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

APS ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਲਾਸੀਕਲ ਅਤੇ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੋਵਾਂ ਲਈ ਹੀ ਇੱਕ ਸੰਖੇਪ, ਏਕੀਕ੍ਰਿਤ ਅਤੇ ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਰਚਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।

APS ਬਾਰੇ ਸਪੇਸ ਅਲਜਬਰਾ (STA) ਹੋਣ ਦੀ ਗਲਤਫਹਿਮੀ ਨਹੀਂ ਪਾਲਣੀ ਚਾਹੀਦੀ, ਜੋ ਚਾਰ-ਅਯਾਮੀ ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਦੇ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰਾ Cl_1,3(R) ਨਾਲ ਸਬੰਧਿਤ ਹੈ।

ਮੈਕਸਵੈੱਲ ਦੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਇਕਲੌਤੀ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਪਰੋਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:

${\displaystyle {\bar {\partial }}F={\frac {1}{\epsilon }}{\bar {j}}\,,}$

ਜਿੱਥੇ ਉੱਪਰਲਾ ਬਾਰ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਕੰਜੂਗੇਸ਼ਨ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਦਾ ਹੈ।

ਲੌਰੰਟਜ਼ ਫੋਰਸ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਇਹ ਰੂਪ ਲੈ ਲੈਂਦੀ ਹੈ:

${\displaystyle {\frac {dp}{d\tau }}=e\langle Fu\rangle _{R}\,.}$

ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਮੈਗਨੈਟਿਕ ਲਗ੍ਰਾਂਜੀਅਨ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ;

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}\langle FF\rangle _{S}-\langle A{\bar {j}}\rangle _{S}\,,}$

ਜੋ ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸਕੇਲਰ ਅਚੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਪੁੰਜ m ਅਤੇ ਚਾਰਜ e ਵਾਲੇ ਕਿਸੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰਿਕ ਤੌਰ 'ਤੇ ਚਾਰਜ ਕੀਤੇ ਕਣ ਵਾਸਤੇ, ਡੀਰਾਕ ਇਕੁਏਸ਼ਨ, ਇਹ ਰੂਪ ਲੈ ਲੈਂਦੀ ਹੈ:

${\displaystyle i{\bar {\partial }}\Psi \mathbf {e} _{3}+e{\bar {A}}\Psi =m{\bar {\Psi }}^{\dagger }}$,

ਜਿੱਥੇ e₃ ਕੋਈ ਮਨਚਾਹਿਆ ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਵੈਕਟਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ A ਉਪਰੋਕਤ ਵਾਂਗ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਮੈਗਨੈਟਿਕ ਪੈਰਾ-ਵੈਕਟਰ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਮੈਗਨੈਟਿਕ ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆ, ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ A ਦੀ ਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਮਿਨੀਮਲ ਕਪਲਿੰਗ ਰਾਹੀਂ ਸ਼ਾਮਿਲ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ।

ਲੌਰੰਟਜ਼ ਫੋਰਸ ਨਾਲ ਅਨੁਕੂਲ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਰੋਟਰ ਦੀ ਡਿਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨ;

${\displaystyle {\frac {d\Lambda }{d\tau }}={\frac {e}{2mc}}F\Lambda ,}$

ਇੰਝ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਪ੍ਰੌਪਰ ਵਿਲੌਸਿਟੀ, ਅਰਾਮ ਉੱਤੇ ਪ੍ਰੌਪਰ ਵਿਲੌਸਿਟੀ ਦੇ ਲੌਰੰਟਜ਼ ਰੂਪਾਂਤ੍ਰਨ ਦੇ ਤੌਰ 'ਤੇ ਕੈਲਕੁਲੇਟ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ

${\displaystyle u=\Lambda \Lambda ^{\dagger },}$

ਜਿਸਨੂੰ

${\displaystyle {\frac {dx}{d\tau }}=u.}$

ਦੀ ਵਾਧੂ ਵਰਤੋਂ ਵਾਲੀ ਸਪੇਸਟਾਈਮ ਟ੍ਰੈਜੈਕਟਰੀ ${\displaystyle x(\tau )}$ ਖੋਜਣ ਲਈ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਟ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

• ਪੈਰਾਵੈਕਟਰ
• ਮਲਟੀਵੈਕਟਰ
• wikibooks:Physics in the Language of Geometric Algebra. An Approach with the Algebra of Physical Space
• ਭੌਤਿਕੀ ਸਪੇਸ ਦੇ ਅਲਜਬਰੇ ਵਿੱਚ ਡੀਰਾਕ ਇਕੁਏਸ਼ਨ

• Baylis, William (2002). Electrodynamics: A Modern Geometric Approach (2nd ed.). Birkhäuser. ISBN 0-8176-4025-8
• W. E. Baylis, editor, Clifford (Geometric) Algebra with Applications to Physics And Mathematics Birkhäuser, Boston 1996.
• Chris Doran and Anthony Lasenby, Geometric Algebra for Physicists, Cambridge University Press (2003)
• David Hestenes: New Foundations for Classical Mechanics (Second Edition). ISBN 0-7923-5514-8, Kluwer Academic Publishers (1999)

• Baylis, William (2002). Relativity in Introductory Physics, Can. J. Phys. 82 (11), 853—873 (2004). (ArXiv:physics/0406158)
• W. E. Baylis and G. Jones, The Pauli-Algebra Approach to Special Relativity, J. Phys. A22, 1-16 (1989)
• W. E. Baylis, Classical eigenspinors and the Dirac equation, Phys Rev. A, Vol 45, number 7 (1992)
• W. E. Baylis, Relativistic dynamics of charges in electromagnetic fields: An eigenspinor approach, Phys Rev. A, Vol 60, number 2 (1999)