ਲੀਨੀਅਰ ਅਕਾਰ

ਲੀਨੀਅਰ ਅਾਕਾਰ (ਰੇਖਿਕ) ਅਲਜਬਰੇ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਲੀਨੀਅਰ ਫੰਕਸ਼ਨਲ ਜਾਂ ਲੀਨੀਅਰ ਫਾਰਮ (ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ-ਫਾਰਮ ਜਾਂ ਕੋਵੈਕਟਰ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ), ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਤੋਂ ਉਸਦੇ ਸਕੇਲਰਾਂ ਦੀ ਫੀਲਡ (ਖੇਤਰ) ਤੱਕ ਦਾ ਇੱਕ ਲੀਨੀਅਰ ਨਕਸ਼ਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ℝn ਵਿੱਚ, ਜੇਕਰ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ “ਕਾਲਮ (ਖੜੀਆਂ ਕਤਾਰਾਂ) ਵੈਕਟਰ” ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਰੇਖਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਲਾਂ ਨੂੰ ਰੋਅ (ਲੇਟਵੀਆਂ ਕਤਾਰਾਂ) ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦਾ ਵੈਕਟਰਾਂ ਤੇ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰਨਾ ਡਾਟ-ਪ੍ਰੋਡਕਟ (ਅੰਦਰੂਨੀ ਗੁਣਨਫਲ), ਜਾਂ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਗੁਣਨਫਲ ਰਾਹੀਂ ਮਿਲਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਰੋਅ ਵੈਕਟਰ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਅਤੇ ਕਾਲਮ ਵੈਕਟਰ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਲਿਖੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ । ਆਮ ਤੌਰ ਤੇ, ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਫੀਲਡ k ਉੱਤੇ V ਕੋਈ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ V ਤੋਂ k ਤੱਕ ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨਲ f ਅਜਿਹਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਇਸ ਤਰਾਂ ਲੀਨੀਅਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ;

${\displaystyle f({\vec {v}}+{\vec {w}})=f({\vec {v}})+f({\vec {w}})}$ ਸਾਰੇ ${\displaystyle {\vec {v}},{\vec {w}}\in V}$ ਲਈ

${\displaystyle f(a{\vec {v}})=af({\vec {v}})}$ ਸਾਰੇ ${\displaystyle {\vec {v}}\in V,a\in k.}$ ਲਈ

V ਤੋਂ k ਤੱਕ ਦੇ ਸਾਰੇ ਲੀਨੀਅਰ ਫੰਕਸ਼ਨਲਾਂ Homk(V,k) ਦਾ ਸੈੱਟ, ਜੋੜ ਅਤੇ ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਨਫਲ (ਬਿੰਦੂ- ਬਿੰਦੂ ਤੱਕ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ) ਦੇ ਓਪਰੇਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਨਾਲ ਨਾਲ k ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਰਚਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਸਪੇਸ ਨੂੰ V ਦੀ ਡਿਊਲ ਜਾਂ ਦੋਹਰੀ ਸਪੇਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਾਂ ਕਦੇ ਕਦੇ ਅਲਜਬਰਿਕ ਡਿਊਲ ਸਪੇਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਇਸਨੂੰ “ਨਿਰੰਤਰ ਡਿਊਲ ਸਪੇਸ’ ਤੋਂ ਅਲੱਗ ਰੱਖਿਆ ਜਾ ਸਕੇ । ਇਸ ਨੂੰ ਅਕਸਰ V∗ ਜਾਂ V′ ਨਾਲ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਕਿ ਫੀਲਡ k ਨੂੰ ਸਮਝਿਆ ਜਾ ਚੁੱਕਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਜੇਕਰ V ਕੋਈ ਟੌਪੌਲੌਜੀਕਲ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ, ਨਿਰੰਤਰ (ਕੰਟੀਨਿਊਸ) ਰੇਖਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਲਾਂ ਦੀ ਸਪੇਸ- ਜਿਸ ਨੂੰ ਕੰਟੀਨਿਊਸ ਡਿਊਲ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ- ਅਕਸਰ ਸਧਾਰਣ ਤੌਰ ਤੇ ਸਿਰਫ “ਡਿਊਲ ਸਪੇਸ” ਕਹੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ V ਕੋਈ ਬਾਨਾਚ ਸਪੇਸ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਇਸਦੀ ਕੰਟੀਨਿਊਸ ਡਿਊਲ ਸਪੇਸ ਵੀ ਬਾਨਾਚ ਡਿਊਲ ਸਪੇਸ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। (ਬਾਨਾਚ ਸਪੇਸ ਓਸ “ਸੰਪੂਰਣ ਨੌਰਮਡ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ” ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਦੂਰੀ ਦਾ ਹਿਸਾਬ ਲਗਾਉਣ ਦਾ ਇੱਕ ਮੀਟ੍ਰਿਕ ਇਸ ਤਰਾਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ “ਕਾਊਚੀ ਸੀਰੀਜ਼” ਇੱਕ ਚੰਗੀ ਤਰਾਂ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਕੀਤੀ ਅਜਿਹੀ ਸੀਮਾ ਤੱਕ ਸੁੰਗੜ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਸਪੇਸ ਦੇ ਵਿੱਚ ਹੀ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ) ਆਮ ਡਿਊਲ ਸਪੇਸ ਅਤੇ ਕੰਟੀਨਿਊਸ ਡਿਊਲ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਫਰਕ ਕਰਨ ਲਈ, ਆਮ ਡਿਊਲ ਸਪੇਸ ਨੂੰ ਅਲਜਬਰਿਕ ਡਿਊਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸੀਮਤ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ (ਅਯਾਮਾਂ) ਵਿੱਚ, ਹਰੇਕ ਲੀਨੀਅਰ ਫੰਕਸ਼ਨਲ ਕੰਟੀਨਿਊਸ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਇਸਲਈ ਕੰਟੀਨਿਊਸ ਡਿਊਲ ਵੀ ਉਹੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਅਲਜਬਰਿਕ ਡਿਊਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਭਾਵੇਂ ਇਹ ਅਨੰਤ (ਇਨਫਿਨਿਟ) ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਸੱਚ ਨਹੀਂ ਹੈ।

ਮੰਨ ਲਓ ਵਾਸਤਵਿਕ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਸਪੇਸ Rⁿ ਵਿਚਲੇ ਵੈਕਟਰ ਇਸ ਕਾਲਮ ਵੈਕਟਰਾਂ ਰਾਹੀਂ ਦਰਸਾਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ

${\displaystyle {\vec {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}.}$

ਤਾਂ ਕੋਈ ਵੀ ਲੀਨੀਅਰ ਫੰਕਸ਼ਨਲ ਇਹਨਾਂ ਕੋਆਰਡੀਨੇਟਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਜੋੜ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇਸਤਰਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:

${\displaystyle f({\vec {x}})=a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}.}$

ਇਹ ਸਿਰਫ ਰੋਅ-ਵੈਕਟਰ [a₁ ... a_n] ਅਤੇ ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ਦਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਗੁਣਨਫਲ ਹੈ:

${\displaystyle f({\vec {x}})=[a_{1}\dots a_{n}]{\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}.}$

ਲੀਨੀਅਰ ਫੰਕਸ਼ਨਲ ਪਹਿਲੀ ਵਾਰ “ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ” ਦੇ ਅਧਿਐਨ ਵਿੱਚ ਫੰਕਸ਼ਨਲ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਵਿੱਚ ਸਾਹਮਣੇ ਆਏ ਸਨ। ਲੀਨੀਅਰ ਫੰਕਸ਼ਨਲਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਆਮ ਉਦਾਹਰਣ ਇੰਟੀਗਰੇਸ਼ਨ ਹੈ: ਰੀਮੈਨ ਇੰਟਗਰਲ ਰਾਹੀਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੇਠਾਂ ਦਰਸਾਈ ਲੀਨੀਅਰ ਤਬਦੀਲੀ ਇੰਟਰਵਲ [a, b] ਉੱਤੇ ਕੰਟੀਨਿਊਸ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ C[a,b] ਤੋਂ ਇੱਕ ਲੀਨੀਅਰ ਫੰਕਸ਼ਨਲ ਹੈ;

${\displaystyle I(f)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

I ਦੀ ਰੇਖਿਕਤਾ (ਲੀਨੀਅਰਟੀ) ਇੰਟਗਰਲਾਂ ਬਾਬਤ ਇਹਨਾਂ ਸਟੈਂਡਰਡ ਤੱਥਾਂ ਤੋਂ ਪਤਾ ਲਗਦੀ ਹੈ:

${\displaystyle I(f+g)=\int _{a}^{b}(f(x)+g(x))\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{a}^{b}g(x)\,dx=I(f)+I(g)}$

${\displaystyle I(\alpha f)=\int _{a}^{b}\alpha f(x)\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\alpha I(f).}$

ਮੰਨ ਲਓ ਕਿਸੇ ਇੰਟਰਵਲ [a,b] ਉੱਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ n ਤੋਂ ਘੱਟ ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ (≤n) ਡਿਗਰੀ ਦੇ ਵਾਸਤਵਿਕ-ਮੁੱਲਾਂ ਵਾਲੇ ਪੌਲੀਨੌਮੀਅਲ ਫੰਕਸ਼ਨਾੰ ਦੀ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਨੂੰ P_n ਨਾਲ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ c ∈ [a, b] ਹੋਵੇ ਤਾਂ, ਮੰਨ ਲਓ ev_c : P_n → R ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੀਆ ਐਵੋਲੀਊਸ਼ਨ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੋਵੇ

${\displaystyle \operatorname {ev} _{c}f=f(c).}$

ਮੈਪਿੰਗ f → f(c) ਰੇਖਿਕ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ

${\displaystyle (f+g)(c)=f(c)+g(c)}$

${\displaystyle (\alpha f)(c)=\alpha f(c).}$

ਜੇਕਰ x₀, ..., x_n , ਇੰਟਰਵਲ [a,b] ਦੇ ਵਿੱਚ n+1 ਵੱਖਰੇ ਵੱਖਰੇ ਬਿੰਦੂ ਹੋਣ, ਤਾਂ ev_xi, i=0,1,...,n ਐਵੋਲੀਊਸ਼ਨ ਫੰਕਸ਼ਨਲ, P_n ਦੀ ਡਿਊਲ ਸਪੇਸ ਦਾ ਬੇਸਿਸ ਰਚਦਾ ਹੈ। ਲਾਕਸ (1996), ਲਗਰੇਂਜੀਅਨ ਇੰਟਰਪੋਲੇਸ਼ਨ ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ ਇਹ ਆਖਰੀ ਤੱਥ ਸਾਬਤ ਕਰਦਾ ਹੈ।

ਉੱਪਰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੀ ਇੰਟੀਗਰੇਸ਼ਨ ਫੰਕਸ਼ਨਲ I , n ਤੋਂ ਘੱਟ ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ (≤n) ਡਿਗਰੀ ਦੇ ਪੌਲੀਨੌਮੀਅਲਾਂ ਦੀ ਸਬਸਪੇਸP_n ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਲੀਨੀਅਰ ਫੰਕਸ਼ਨਲ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਨ । ਜੇਕਰ x₀, …, x_n ,ਇੰਟਰਵਲ [a,b] ਦੇ ਵਿੱਚ n+1 ਵੱਖਰੇ ਵੱਖਰੇ ਬਿੰਦੂ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਅਜਿਹੇ ਗੁਣਾਂਕ (ਕੋਫੀਸ਼ੈਂਟਸ) a₀, …, a_n ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਹਨਾਂ ਲਈ

${\displaystyle I(f)=a_{0}f(x_{0})+a_{1}f(x_{1})+\dots +a_{n}f(x_{n})}$

ਜੋ ਸਾਰੇ f ∈ P ਮੈਂਬਰਾਂ ਲਈ ਹੁੰਦੇ ਹਨ । ਇਹ ਨਿਊਮੈਰੀਕਲ ਕੁਆਡਰੇਚਰ (ਸੰਖਿਅਕ ਵਰਗ) ਦੀ ਥਿਊਰੀ ਦੀ ਨੀਂਹ ਰਚਦੇ ਹਨ ।

ਇਹ ਇਸ ਤੱਥ ਤੋਂ ਪਤਾ ਲਗਦਾ ਹੈ ਕਿ ਲੀਨੀਅਰ ਫੰਕਸ਼ਨਲਜ਼ ev_xi : f → f(x_i) ਜੋ ਉੱਪਰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੇ ਗਏ ਹਨ, P_n ਦੀ ਡਿਊਲ ਸਪੇਸ ਦਾ ਬੇਸਿਸ (ਅਧਾਰ) ਰਚਦੇ ਹਨ ।(Lax 1996)

ਲੀਨੀਅਰ ਫੰਕਸ਼ਨਲ ਖਾਸ ਤੌਰ ਤੇ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਵਿੱਚ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹਨ । ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨੀਕਲ ਸਿਸਟਮਾਂ ਨੂੰ ਹਿਲਬਰਟ ਸਪੇਸਾਂ ਰਾਹੀਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਅਪਣੀਆਂ ਖੁਦ ਦੀਆਂ ਡਿਊਲ ਸਪੇਸਾਂ ਤੋਂ ਐਂਟੀ-ਆਈਸੋਮੌਰਫਿਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ । ਕਿਸੇ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨੀਕਲ ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਅਵਸਥਾ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਰੇਖਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨਲ ਨਾਲ ਪਛਾਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜਿਆਦਾ ਜਾਣਕਾਰੀ ਲਈ ਬਰਾ-ਕੈੱਟ ਧਾਰਨਾ ਪੜੋ ।

ਜਨਰਲਾਈਜ਼ਡ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ (ਸਰਵ-ਸਧਾਰਨ ਕੀਤੇ ਹੋਏ) ਦੀ ਥਿਊਰੀ ਵਿੱਚ, ਕੁੱਝ ਕਿਸਮ ਦੇ ਜਨਰਲਾਈਜ਼ਡ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਜਿਹਨਾਂ ਨੂੰ “ਡਿਸਟਰੀਬਿਊਸ਼ਨਾਂ” ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਨੂੰ ਟੈਸਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀਆਂ ਸਪੇਸਾਂ ਉੱਤੇ ਲੀਨੀਅਰ ਫੰਕਸ਼ਨਲਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮਹਿਸੂਸ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

• ਕੋਈ ਵੀ ਲੀਨੀਅਰ ਫੰਕਸ਼ਨਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਾਂ ਸਕੇਲਰ ਫੀਲਡ ਉੱਤੇ ਸਰਜੈਕਟਿਵ (ਸਹਿ-ਡੋਮੇਨ ਦਾ ਹਰੇਕ ਤੱਤ ਮੂਲ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਘੱਟੋ ਘੱਟ ਇੱਕ ਤੱਤ ਨਾਲ ਸਿੱਧਾ ਜੁੜਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ) ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸੱਚਮੁੱਚ, ਇਸਤੋਂ ਪਤਾ ਚਲਦਾ ਹੈ ਕਿ, ਕਿਉਂਕਿ ਕਿਸੇ ਲੀਨੀਅਰ ਤਬਦੀਲੀ ਨਾਲ ਵੈਕਟਰ ਸਬਸਪੇਸ ਦੀ ਤਸਵੀਰ ਵੀ ਇੱਕ ਸਬ ਸਪੇਸ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਇਸਲਈ V ਦੀ ਤਸਵੀਰ L ਦੇ ਪ੍ਰਭਾਵ ਨਾਲ ਸਬਸਪੇਸ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਫੇਰ ਵੀ, k ਦੀਆਂ ਸਿਰਫ ਸਬਸਪੇਸਾਂ {0} ਅਤੇ k ਖੁਦ ਹੀ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ।
• ਕੋਈ ਲੀਨੀਅਰ ਫੰਕਸ਼ਨਲ ਕੰਟੀਨਿਊਸ (ਨਿਰੰਤਰ) ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਤੇ ਸਿਰਫ ਜੇਕਰ ਇਸਦਾ ਕਰਨਲ ਬੰਦ ਹੋਵੇ । (ਦੋ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸਾਂ ਦਰਮਿਅਨ ਇੱਕ ਲੀਨੀਅਰ ਮੈਪ/ਨਕਸ਼ੇ ਦਾ ਕਰਨਲ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਉਹਨਾਂ ਤੱਤਾਂ ਦੇ ਸੈੱਟ ਨੂੰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਦਾ ਲੀਨੀਅਰ ਮੈਪ 0 ਜਾਂ ਨੱਲ ਸਪੇਸ ਹੋਵੇ)
• ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਕਰਨਲ ਵਾਲੇ ਲੀਨੀਅਰ ਫੰਕਸ਼ਨਲ ਅਨੁਪਾਤ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ।
• ਕਿਸੇ ਲੀਨੀਅਰ ਫੰਕਸ਼ਨਲ ਦਾ ਸ਼ੁੱਧ ਮੁੱਲ ਇਸੀ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਸੇਮੀਨੌਰਮ (ਅਰਧ-ਨੌਰਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਓਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ ਜੋ 0 ਦੇ ਸਮੇਤ ਕੁੱਝ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਨੂੰ 0 ਕਰਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਨੌਰਮ ਓਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਸਖਤੀ ਨਾਲ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਦੇ ਹਰੇਕ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਇੱਕ ਪੌਜ਼ੇਟਿਵ ਲੰਬਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਸੀਮਤ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ (ਅਯਾਮਾਂ) ਵਿੱਚ,ਕਿਸੇ ਲੀਨੀਅਰ ਫੰਕਸ਼ਨਲ ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਲੈਵਲ ਸੈੱਟਾਂ ਦੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ ਦੇਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਤਿੰਨ-ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ, ਕਿਸੇ ਲੀਨੀਅਰ ਫੰਕਸ਼ਨਲ ਦੇ ਲੈਵਲ ਸੈੱਟ, ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਸਮਾਂਤਰ (ਪੈਰਲਲ) ਪਲੇਨਾਂ ਦੀ ਫੈਮਲੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ; ਉੱਚ-ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਸੈੱਟ ਸਮਾਂਤਰ ਹਾਈਪਰਪਲੇਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ । ਲੀਨੀਅਰ ਫੰਕਸ਼ਨਲਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਣ ਦਾ ਇਹ ਤਰੀਕਾ ਕਦੇ ਕਦੇ ਜਨਰਲ ਰੀਲੇਟੀਵਿਟੀ ਦੀਆਂ ਕਿਤਾਬਾਂ ਵਿੱਚ ਪੇਸ਼ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਮਿਸਨਰ, ਥਰੋਨ ਅਤੇ ਵੀਲਰ ਦੁਆਰਾ ਗਰੈਵੀਟੇਸ਼ਨ Misner, Thorne & Wheeler (1973) ਪੁਸਤਕ ਵਿੱਚ ਪੇਸ਼ ਕੀਤਾ ਮਿਲਦਾ ਹੈ।

ਕਿਸੇ ਸੀਮਤ-ਅਯਾਮੀ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ V ਉੱਤੇ ਹਰੇਕ ਨੌਨ-ਡੀਜਨਰੇਟ ਬਾਇਲੀਨੀਅਰ (ਨਾ ਖਰਾਬ ਹੋਈ ਵੀ ਦੋ-ਰੇਖਿਕ) ਕਿਸਮ V ਤੋਂ V* ਤੱਕ ਇੱਕ ਆਇਸੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ (ਦੋ ਰੇਖਾਵਾਂ ਨਾਲ ਬਣਨ ਵਾਲੀ ਬਣਤਰ ਦੇ ਨਕਸ਼ੇ ਦੀ ਉਲਟਾਈ ਜਾਣ ਵਾਲੀ ਕਿਸਮ) ਨੂੰ ਜਨਮ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਦਰਸਾਉਣ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, V ਉੱਤੇ ਬਾਇਲੀਨੀਅਰ ਕਿਸਮ ਨੂੰ < , > ਰਾਹੀਂ ਲਿਖਦੇ ਹੋਏ (ਜਿਵੇਂ ਯੂਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ v ਅਤੇ w ਦਾ ਡਾਟ-ਪ੍ਰੋਡਕਟ <v,w> = v•w ਹੁੰਦਾ ਹੈ), ਤਾਂ ਇੱਕ ਕੁਦਰਤੀ ਆਇਸੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ (ਸਮਾਰਕ) ${\displaystyle V\to V^{*}:v\mapsto v^{*}}$ ਇਵੇਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ

${\displaystyle v^{*}(w):=\langle v,w\rangle .}$

ਉਲਟਾ ਆਇਸੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ V : f \mapsto f^* </math> ਰਾਹੀਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ f*ਨੂੰ V ਦਾ ਯੂਨੀਕ ਐਲੀਮੈਂਟ (ਨਿਰਾਲਾ ਤੱਤ) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਸਾਰੇ w ∈ V ਦੇ ਮੈਂਬਰਾਂ ਲਈ ਹੁੰਦਾ ਹੈ

${\displaystyle \langle f^{*},w\rangle =f(w).}$

ਉੱਪਰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੇ ਵੈਕਟਰ v* ∈ V* ਨੂੰ v ∈ V ਦਾ ਡਿਊਲ ਵੈਕਟਰ (ਦੋਹਰਾ ਵੈਕਟਰ) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਕਿਸੇ ਅਨੰਤ-ਅਯਾਮੀ ਹਿਲਬਰਟ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ, ਸਮਾਨ ਰਿਜ਼ਲਟ ਰੀਸਜ਼ ਰਿਪ੍ਰੈਜ਼ੈੰਟ ਥਿਊਰਮ ਰਾਹੀਂ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ । ਨਿਰੰਤਰ ਡਿਊਲ ਸਪੇਸ V* ਵਿੱਚ ਇੱਕ V → V* ਤੱਕ ਦੀ ਮੈਪਿੰਗ (ਨਕਾਸ਼ੀ) ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਫੇਰ ਵੀ, ਇਹ ਮੈਪਿੰਗ ਰੇਖਿਕ ਹੋਣ ਦੀ ਜਗਹ ਗੈਰ-ਰੇਖਿਕ (ਐਂਟੀਲੀਨੀਅਰ) ਹੁੰਦੀ ਹੈ।