ਵੈਕਟਰ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ

ਵੈਕਟਰ ਕੈਲਕੁਲਸ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਕਰਲ ਇੱਕ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਕਿਸੇ ਸਕੇਲਰ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਦੇ ਤੁੱਲ ਹੈ, ਜੋ ਅਜਿਹੀ ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ ਫੀਲਡ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਗ੍ਰੇਡੀਅੰਟ ਇੱਕ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

ਰਸਮੀ ਤੌਰ ਤੇ, ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ v ਦੇ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ ਤੇ, ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ A ਇੰਝ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ

${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \times \mathbf {A} .}$

ਹੋਵੇ।

ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ v ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ A ਲਈ ਜ਼ਿੰਮੇਵਾਰ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਸਮਾਨਤਾ

${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0}$ ਤੋਂ (ਕਰਲ ਦੀ ਡਾਇਵਰਜੰਸ ਜ਼ੀਰੋ ਹੁੰਦੀ ਹੈ) ਇਹ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0,}$

ਜਿਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿ v ਜਰੁਰ ਹੀ ਇੱਕ ਸੌਲੀਨੋਆਇਡਲ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ।

ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ

${\displaystyle \mathbf {v} :\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}$

ਇੱਕ ਸੌਲੀਨੋਆਇਡਲ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਹੋਵੇ ਜੋ ਦੋ ਵਾਰ ਨਿਰੰਤਰ ਤੌਰ ਤੇ ਡਿਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਏਬਲ ਹੋਵੇ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ v(x) ਇੰਨੀ ਕੁ ਜਰੂਰਤ ਮੁਤਾਬਿਕ ਤੇਜੀ ਨਾਲ ਘਟੇ ਜਿੰਨਾ ||x||→∞ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚੇ। ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ ਕਿ

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla _{y}\times \mathbf {v} (\mathbf {y} )}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right\|}}\,d^{3}\mathbf {y} .}$

ਫੇਰ, A, v ਵਾਸਤੇ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਯਾਨਿ ਕਿ,

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {v} .}$

ਇਸ ਥਿਊਰਮ ਦਾ ਇੱਕ ਸਰਵ-ਸਧਾਰੀਕਰਨ ਹੈਲਹੋਲਟਜ਼ ਡੀਕੰਪੋਜ਼ੀਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਫੁਰਮਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਸੌਲੀਨੋਆਇਡਲ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਅਤੇ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਰੋਟੇਸ਼ਨਲ ਵੈਕਟਰ ਫੀਲਡ ਦੇ ਇੱਕ ਜੋੜਫਲ਼ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਤੋੜਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

ਕਿਸੇ ਸੌਲੀਨੋਆਇਡਲ ਫੀਲਡ ਦੁਆਰਾ ਮੰਨਿਆ ਗਿਆ ਵੈਕਟਰ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਨਿਰਾਲਾ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਜੇਕਰ A, v ਲਈ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਅਜਿਹਾ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ

${\displaystyle \mathbf {A} +\nabla m}$

ਜਿੱਥੇ m ਕੋਈ ਵੀ ਨਿਰੰਤਰ ਤੌਰ ਤੇ ਡਿਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਏਬਲ ਸਕੇਲਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਇਹ ਇਸ ਤੱਥ ਤੋਂ ਪਤਾ ਚਲਦਾ ਹੈ ਕਿ ਗ੍ਰੇਡੀਅੰਟ ਦੀ ਕਰਲ ਜੀਰੋ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ।

ਇਹ ਗੈਰ-ਨਿਰਾਲਾਪਣ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਡਾਇਨਾਮਿਕਸ ਦੀ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਵਿੱਚ ਅਜ਼ਾਦੀ ਦੀ ਇੱਕ ਡਿਗਰੀ ਵੱਲ ਪ੍ਰੇਰਣਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਜਾਂ ਗੇਜ ਅਜ਼ਾਦੀ ਵੱਲ ਲਿਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਗੇਜ ਦੇ ਚੁਣੇ ਜਾਣ ਦੀ ਮੰਗ ਕਰਦਾ ਹੈ।

• ਵੈਕਟਰ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਦੀ ਬੁਨਿਆਦੀ ਥਿਊਰਮ
• ਚੁੰਬਕੀ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ
• ਸੌਲੀਨੋਆਇਡ
• ਬੰਦ ਅਤੇ ਸਹੀ ਡਿਫ੍ਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਕਿਸਮਾਂ

• Fundamentals of Engineering Electromagnetics by David K. Cheng, Addison-Wesley, 1993.