Алгебра Мальцева

Алгебра Мальцева — антикоммутативная неассоциативная алгебра, которая удовлетворяет следующему тождеству Мальцева:

${\displaystyle (xy)(xz)=((xy)z)x+((yz)x)x+((zx)x)y}$.

Введены в 1955 году советским математиком Анатолием Ивановичем Мальцевым.

Тождество Мальцева можно переписать в виде:

${\displaystyle J(x,y,xz)=J(x,y,z)x}$,

где ${\displaystyle J(x,y,z)=(xy)z+(yz)x+(zx)y}$ — якобиан элементов ${\displaystyle x,y,z}$. Поскольку в любой алгебре Ли якобиан равняется нулю, то алгебры Ли являются частным случаем алгебр Мальцева.

Существует следующая взаимосвязь между альтернативными алгебрами и алгеброй Мальцева: замена умножения в алгебре ${\displaystyle M}$ операцией коммутирования ${\displaystyle [x,y]=xy-yx}$ превращает её в алгебру ${\displaystyle M^{(-)}}$. При этом, если ${\displaystyle M}$ является альтернативной алгеброй, то ${\displaystyle M^{(-)}}$ будет алгеброй Мальцева. (Другими словами, для алгебр Мальцева существует аналог теоремы Пуанкаре — Биркгофа — Витта.)

Для алгебр Мальцева имеет место теорема, аналогичная классической теореме о связи алгебры Ли и группы Ли. Касательная алгебра локальной аналитической лупы Муфанг является алгеброй Мальцева. Верно также и обратное утверждение: любая конечномерная алгебра Мальцева ${\displaystyle M}$ над полным нормированным полем ${\displaystyle F}$ характеристики 0 является касательной алгеброй некоторой локальной аналитической лупы Муфанг.

• Филиппов В. Т. Мальцева алгебра // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3: Коо — Од. — 1184 стб. : ил. — 150 000 экз.— Перевод на английский: Mal'tsev algebra  (неопр.). Encyclopedia of Mathematics. EMS Press.
• Скорняков Л. А., Шестаков И. П. . Глава III. Кольца и модули // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 291—572. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.
• Мальцев А. И. Аналитические лупы // Матем. сб.. — 1955. — Т. 36, № 3. — С. 569—76.
• Мальцев А. И.  Алгебраические системы. — М.: Наука, 1970. — 392 с.
• Филиппов В. Т. Первичные алгебры Мальцева // Матем. заметки. — 1982. — Т. 31, № 5. — С. 669—678.