Эта статья — об универсальной алгебре как об алгебраической системе без отношений. О разделе математики, изучающем в том числе данного вида структуры см.
Универсальная алгебра .
Алгебра (универсальная алгебра ) — множество
A
{\displaystyle A}
носителем алгебры , снабжённое набором
n
{\displaystyle n}
арных алгебраических операций на
A
{\displaystyle A}
сигнатурой , или структурой алгебры. Иными словами, универсальной алгеброй является алгебраическая система с пустым множеством отношений .
Для универсальных алгебр имеет место теорема о гомоморфизме: если
φ
:
A
→
A
′
{\displaystyle \varphi :A\rightarrow A'}
гомоморфизм алгебр, а
θ
{\displaystyle \theta }
конгруэнция
φ
{\displaystyle \varphi }
θ
=
{
(
x
,
y
)
∈
A
×
A
|
φ
(
x
)
=
φ
(
y
)
}
{\displaystyle \theta =\{(x,y)\in A\times A|\varphi (x)=\varphi (y)\}}
факторалгебра
A
/
θ
{\displaystyle A/\theta }
изоморфна
A
′
{\displaystyle A'}
Для универсальных алгебр исследованы сопутствующие структуры: группа автоморфизмов
A
u
t
A
{\displaystyle \mathbf {Aut} A}
моноид эндоморфизмов
E
n
d
A
{\displaystyle \mathbf {End} A}
решётка подалгебр
S
u
b
A
{\displaystyle \mathbf {Sub} A}
конгруэнций
C
o
n
A
{\displaystyle \mathbf {Con} A}
G
{\displaystyle G}
L
0
{\displaystyle L_{0}}
L
1
{\displaystyle L_{1}}
A
{\displaystyle A}
G
≅
A
u
t
A
{\displaystyle G\cong \mathbf {Aut} A}
L
0
≅
S
u
b
A
{\displaystyle L_{0}\cong \mathbf {Sub} A}
L
1
≅
C
o
n
A
{\displaystyle L_{1}\cong \mathbf {Con} A}
Универсальная алгебра с одной бинарной алгебраической операцией называется группоидом (магмой) .
Кон П. Универсальная алгебра. — М. : Мир , 1969. — 351 с.Артамонов В. А. и др. Общая алгебра, в 2-х томах. — М. : Наука , 1990—1991. — 592 с + 480 с. с.Скорняков Л. А. Универсальная алгебра — статья из Математической энциклопедии 
